ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe:
Bestimmen Sie folgende Mengen und skizzieren Sie diese.
a) {zєC|z*(1+i)єR}
b) {zєC|z^2=i}
c) {zєC|2*Im(z^2)=Im(z)^2}
d) {(1-i)^k|k∈{0,1,2,3}}
(dabei ist: C=Menge der komplexen Zahlen, R=Menge der reellen Zahlen)
Meine Lösungsansätze:
zu a) Zuerst habe ich z=a+bi gewählt.
=> (a+bi)*(1+i)
Danach habe ich den Term umgeformt:
(a+bi)*(1+i)=a+ai+bi+b*(i^2)=(a-b)+(a+b)*i
Jetzt hat man: Re(z)=a-b und Im(z)=a+b
Da z*(1+i) Element der reellen Zahlen ist, folgt Im(z)=a+b=0
Nun hat man nur noch a-b∈R übrig. Jedoch weiß ich nicht, was ich damit
anfangen soll, bzw. wie ich das skizzieren kann.
zu b) Hier wähle ich wieder z=a+bi.
=> (a+bi)^2=i =>Umformen: a^2+2abi+(bi)^2=i
(a^2)-(b^2)+2abi=i
Das könnte man dann noch weiter umformen zu (a+b)*(a-b)=i*(1-2ab), aber
auch hier weiß ich nicht, wie mich das weiterbringen soll.
zu c) Ich wähle z=a+bi.
Nun berechne ich zuerst z^2: z^2=(a+bi)^2=(a^2)-(b^2)+2abi
=> Im(z^2)=2ab => 2*Im(z^2)=4ab
Jetzt bestimme ich Im(z)^2: Im(z)=b => Im(z)^2=b^2
Nun setze ich 2*Im(z^2)=Im(z)^2 <=> 4ab=b^2
=>Umformen: 4a=b
Kann ich das jetzt als Gerade durch den Ursprung mit der Steigung 4
interpretieren?
zu d) Hier habe ich für k die einzelnen Werte eingesetzt:
k=0 => (1-i)^k=1
k=1 => (1-i)^k=1-i
k=2 => (1-i)^k=-2i
k=3 => (1-i)^k=-2-2i
Ich weiß allerdings nicht, wie ich das skizzieren soll.
Ich hoffe die Lösungsansätze sind nicht vollkommen verkehrt. Danke, schon im voraus für eure Lösungsvorschläge. :)
