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ich habe hier folgende Aufgabe. ∀k∈ℕ seien ak,bk Elemente eines Körpers.
Zudem: Ak:= a1 + ... + ak.
Folgendes soll bewiesen werden: ∑nk=1 akbk = Anbn + ∑n-1k=1 Ak (bk - bk+1).

Meine Überlegungen bisher:

Natürlich soll hier per vollständiger Induktion bewiesen werden, alles andere wäre wahrscheinlich viel zu kompliziert oder gar nicht machbar.

Für n = 1 folgt: ∑1k=1 a1b1 = A1b1 + ∑1-1k=1 Ak (bk - bk+1).
Auf der linken Seite folgt dann a1b1 und auf der rechten Seite A1b1, da die Summe ja bis 0 zählt. Wir wissen durch Ak, dass A1 = a1 ist, also das erste Element in der Summe von Ak. Daraus folgt, dass der erste Schritt für n = 1 gezeigt wurde.

Induktionsschritt:
n+1k=1 akbk = An+1bn+1 + ∑nk=1 Ak (bk - bk+1).
Daraus folgt dann ∑nk=1 akbk + ak+1 bk+1 = An+1bn+1 + ∑nk=1 Ak (bk - bk+1).
In diesem Schritt habe ich auf der linken Seite das n+1 aus der Summe herausgezogen. Bin ich korrekt vorgegangen? Auf der rechten Seite habe ich zuvor das n durch ein n+1 ersetzt. Ab diesem Punkt weis ich nicht mehr weiter, da mir das umformen mit Summen noch unbekannt ist.

Florian T. S.


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Links kann ich noch umfomen zu:
Anbn + ∑n-1k=1 Ak (bk - bk+1) + ak+1bk+1
Da wir ja wissen, dass ∑nk=1 akbk = Anbn + ∑n-1k=1 Ak (bk - bk+1).

1 Antwort

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Beste Antwort
Die linke Seite lautet ∑nk=1 akbk + an+1 bn+1. Diesen Term kannst du wie folgt umformen:

nk=1 akbk + an+1 bn+1

= Anbn + ∑n-1k=1 Ak (bk - bk+1) + an+1 bn+1 (wegen Induktionsvoraussetzung)

= ∑n-1k=1 Ak (bk - bk+1) + Anbn + an+1 bn+1 (wegen Kommutativgesetz)

= ∑n-1k=1 Ak (bk - bk+1) + An(bn-bn+1) - An(bn-bn+1) +Anbn + an+1 bn+1 (wegen Neutralität der 0)

= ∑nk=1 Ak (bk - bk+1) - An(bn-bn+1) +Anbn + an+1 bn+1 (durch Zusammenfassen)

= ∑nk=1 Ak (bk - bk+1) - Anbn + Anbn+1 +Anbn + an+1 bn+1(wegen Distributivgesetz)

= ∑nk=1 Ak (bk - bk+1) + Anbn+1 + an+1 bn+1 (wegen Neutralität der 0)

= ∑nk=1 Ak (bk - bk+1) + (An+an+1)bn+1 (wegen Distributivgesetz)

= ∑nk=1 Ak (bk - bk+1) + An+1bn+1 (per Definition von Ak)

Avatar von 107 k 🚀

kannst du den schritt mit dem zusammenfassen bitte nochmal erklären ??? ich versteh das nicht...

Steht doch alles schon in Klammern gesetzt?

ja aber wie kommst auf diese Zusammenfassung ? lesen kann ich ;)

Scheinbar nicht. Schau nochmal genau hin.

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