Die linke Seite lautet ∑
nk=1 a
kb
k + a
n+1 b
n+1. Diesen Term kannst du wie folgt umformen:
∑
nk=1 a
kb
k + a
n+1 b
n+1
= Anbn + ∑n-1k=1 Ak (bk - bk+1) + an+1 bn+1 (wegen Induktionsvoraussetzung)
= ∑n-1k=1 Ak (bk - bk+1) + Anbn + an+1 bn+1 (wegen Kommutativgesetz)
= ∑n-1k=1 Ak (bk - bk+1) + An(bn-bn+1) - An(bn-bn+1) +Anbn + an+1 bn+1 (wegen Neutralität der 0)
= ∑nk=1 Ak (bk - bk+1) - An(bn-bn+1) +Anbn + an+1 bn+1 (durch Zusammenfassen)
= ∑nk=1 Ak (bk - bk+1) - Anbn + Anbn+1 +Anbn + an+1 bn+1(wegen Distributivgesetz)
= ∑nk=1 Ak (bk - bk+1) + Anbn+1 + an+1 bn+1 (wegen Neutralität der 0)
= ∑nk=1 Ak (bk - bk+1) + (An+an+1)bn+1 (wegen Distributivgesetz)
= ∑nk=1 Ak (bk - bk+1) + An+1bn+1 (per Definition von Ak)