Welchen Winkel hat Gamma im allg. Dreieck, c=9,5 cm; b= 7,5 cm; a= 5,46 cm; Alpha = 35Grad

Question

Das Allgemeine Dreieich hat die Angaben;

c= 9,5 cm; b= 7,5 cm ; Alpha= 35 Grad,

Gesucht a; die Winkel Betta und Gamma

A errechnet sich zu 5,46 cm

Mit dem Sinussatz errechnet sich der Winkel Betta zu 51,987 Grad und Gamma zu 86,358 Grad

Mit dem Cosinussatz errechnet sich der Winkel Betta zu 52,04 Grad und Gamma zu 92,931 Grad.

Wenn ich jeweils die Winkel addiere, komme ich im Fall der Berechnung mit dem Cosinussatz auf 180 Grad

Bei der Berechnung mit dem Sinussatz fehlen einige Grade.

Wieso habe ich unterscheidliche Ergebnisse ?

Welches ist das richtige?

Answer 1

a = √( b² + c² - 2bc • cos(α) )  Kosinussatz   [ a ≈ 5,46 cm, Rechnung mit genaueren Werten!] 

cos(γ) = [a²+b² - c²] / (2ab)                             [ γ = 92,96°]

β = 180° - α - γ                                                    [ β = 52,04°]

Gruß Wolfgang

Comments

Wenn ich Sinus gamma = (c/a * sin (alpha) rechne bekomme ich 86,358 Grad heraus
rechne ich mit cos (gamma) = (a² +b² - c² )/(2 * a +b) erhalte ich 92,931 Grad.
Was stimmt von den beiden.

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Der Kosinussatz ist immer besser, weil die Sinuswerte in [0°, 180°] nicht eindeutig sind, die Kosinuswerte aber schon:

sin(90°+ x) = sin(90°-x)

Man muss dann also Überlegungen anstellen, welcher Winkel der richtige ist.

Im Fall von (sSγ) wären sogar beide Winkel richtig  (2 Lösungen für das Dreieck)

Außerdem muss man immer mit hoher Genauigkeit rechnen, weil sich die Sinuswerte in der Nähe von 90° nur wenig verändern.

Diese Rundungsprobleme hat man beim Kosinus für kleine Winkel.

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Warum sollten die Sinuswerte nicht eindeutig sein?