Zeigen, dass (V, 0v, +v, *v) ein K-Vektorraum sein soll:

Question

ich soll beweisen, dass (V, 0v, +v, *v) ein K-Vektorraum ist. Hierzu ist es sinnvoll die Definition eines K-Vektorraums zu nutzen, also alle sieben Bedingungen durchzuarbeiten.

Die Aufgabe ist so formuliert:
"Seien K ein Körper, M eine nichtleere Menge und V := Abb(M,K) die Menge der Abbildungen f : M → K. Wir definieren eine Addition und Skalarmultiplikation auf V durch ( f, g ∈ V, λ ∈ K):
( f +_V g)(x) := f (x) +_K g(x) für alle x ∈ M,
(λ ·_V f )(x) := λ ·_K f (x) für alle x ∈ M."

Wie soll ich formal zum Beispiel die Assoziativität zeigen: (x + y) + z = x + (y + z)?
Muss ich hier einen Vektor v₁ = (a₁, b₁, c₁) und zwei weitere Vektoren miteinander
addieren, sodass auf beiden Seiten das Selbe steht, oder wie muss ich formal vorgehen?

Zudem: Wofür steht das rot markierte hier ( f +_V g)(x) und f (x) +_K g(x) hier?
Sobald ich weis, wie ich formal vorgehen kann, sind die restlichen Körperaxiome einfach
zu zeigen, daher brauche ich nur ein Beispiel.

Comments

Die "Vektoren" sind hier Abbildungen von M nach K. Die haben dann nicht die Form v₁ = (a₁, b₁, c₁), ausser es ist zufaellig M={1,2,3}.

Die Markierung sagt, auf welche Menge (V oder K) sich das + bezieht.

Answer 1

Das v an dem + soll nur heißen:

Dieses + ist nicht etwa ein von früher bekanntes +, sondern das

für diesen Vektorraum definierte +.

Es wird ja durch die Definition auf das + im Körper K zurückgeführt,

deshalb hängt dort das K mit dran.

Wie soll ich formal zum Beispiel die Assoziativität zeigen: (x + y) + z = x + (y + z)?
Muss ich hier einen Vektor v₁ = (a₁, b₁, c₁) und zwei weitere Vektoren miteinander
addieren, sodass auf beiden Seiten das Selbe steht, oder wie muss ich formal vorgehen?

Die "Vektoren" sind ja in deinem Fall die Abbildungen von M nach K.

Du musst also zum Ass.ges. dir drei Abb'en denken, etwa f,g,h und zeigen

(f  +_v g ) +_v  h =   f  +_v( g  +_v  h )

Die Gleichheit dieser beiden Abbildungen zeigst du dadurch, dass für alle x aus K

beide Abbildungen das gleiche Ergebnis liefern. Sei also x asu K, dann ist ja aufgrund

der Definition

((f  +_v g ) +_v  h ) (x) =   (f  +_v g )(x)   +_K h(x)

= (  f(x) +_K g(x) ) + _K h(x)

und weil im  Körper das Assoziativgesetz gilt, erhälts du

=  f(x) +_K  (g(x) ) + _K h(x))

und kannst dich jetz zurückhangeln nach

( f  +_v( g  +_v  h ))(x)