Wenn x negativ ist, dann ist x^2 positiv . Und wenn gezeigt ist, dass die
Funktion für alle x ≥ 0 konstant ist, dann ist sie es auch damit auch für alle
negativen x.
Sei nun 0 < x < 1 Betrachte dann die Folge x ; x^2 ; x^4 ; x^8 etc .
dann ist f(x) = f(x^2 ) = f (( x^2 ) ^2) = f ( x^4 ) etc und die Folge
x ; x^2 ; x^4 ; x^8 geht gegen Null ( Teilfolge der geom. Folge) und
Damit geht wegen der Stetigkeit auch die Folge der Funktionswerte gegen f(0).
also ist schon mal für alle 0 < x < 1 die Sache konstant.
wenn f(x^2) = f(x) dann ist auch f ( wurzel(x) ) = f(x) und für die x > 1 betrachtest du dann
die Folge wurzel(x) , wurzel( wurzel(x)) etc. die geht gegen 1 also alles gegen f(1) .
Und weil sie alle gleich, alles konstant = f(1)
wegen Stetigkeit bei x = 1 und Konstanz für x<1 kannst du dann mit so einer Folge wie
0,9 0,99 0,999 argumentieren. Die sind alle < 1 also konstant = f(0) , aber die
x'e gehen gegen 1, also geht die Funktionswerte gegen f(1). Also f(0) = f(1).
