Wo in ihrem Definitionsbereich ist folgende Funktion stetig und wo nicht, f(x)={x2+11−x, falls x≥0, falls x<0 mit D(f)=R

Question

Aufgabe:

Wo in ihrem Definitionsbereich ist folgende Funktion stetig und wo nicht?

\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{x^{2}+1} & {, \text { falls } x \geq 0} \\ {1-x} & {, \text { falls } x<0}\end{array} \quad \text { mit } \quad D(f)=\mathbb{R}\right. \)

Problem/Ansatz:

Wie muss ich mit der Klammer umgehen? Kann mir jemand erklären wie man so eine Aufgabe löst, das wäre super. Vielen Dank im voraus.

Answer 1

Hi,

diese "Klammer" bedeutet eigentlich nur, dass es sich hier um eine abschnittsweise definierte Funktion handelt. Die Funktionen selbst sind dabei stetig (das muss man nicht extra zeigen). Interessant ist die Stelle \(x_{0} = 0\). Hier musst Du sicherstellen, dass der rechtsseitige und der linksseitige Grenzwert übereinstimmen.

\(\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = \lim\limits_{x \to x_{0^-}} f(x) = \lim\limits_{x \to x_{0^+}} f(x)\)

Bei uns ist das:

\(\lim\limits_{x \to 0^-} f(x) = 1\)

\(\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = 1\)

Damit liegt Stetigkeit vor.

Grüße

Answer 2

Wie muss ich mit der Klammer umgehen?

Die Klammer besagt zum Beispiel, dass f(-2) = 1 - (-2) = 3 ist (weil -2 < 0 ist) und dass f(3) = 3² + 1 = 10 ist (weil 3 ≥ 0) ist.

Die Funktion x ↦ x² + 1 ist überall stetig, weil sie die Summe von stetigen Funktionen ist.

Die Funktion x ↦ 1 - x ist überall stetig, weil sie die Summe von stetigen Funktionen ist.

Einzige Unstetigkeitsstelle von f kann also die Abschnittsgrenze 0 sein.

Einsetzen in x² + 1 und in 1 - x liefert

        0² + 1 = 1
        1 - 0 = 1.

Weil beide Terme den gleichen Wert liefern ist die Funktion bei 0 stetig. Also ist f überall stetig.

Answer 3

https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+x%5E2%2B1+and+1-x

Die Problemstelle ist x=0.

Untersuche den links-und rechtsseitigen Grenzwert.