F sei stetig und genüge der Funktionalgleichung.

Question

Die Funktion f : IR —> R sei stetig und genüge der

Funktionalgleichung

f(x2) = f(x) für alle x in den reellen Zahlen

Zeige: f ist konstant.

Es genügt den Fall x grössergleich 0 zu betrachten (Wieso?). Schliesse z. B. mit

Hilfe des Folgenkriteriums der Stetigkeit, dass f(x) = f (1) für 0 < x: < 1 sowie

f(x) = f(1) für x > 1. Also gilt f(a) = f(1) für alle x > 0. Zeige schlussendlich,

dass auch f(0) = f(1).

Comments

f(x²) = f(x) ist das die Bedingung ?

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ja sollte so heissen habe das hoch vergessen.

Answer 1

Wenn x negativ ist, dann ist x² positiv . Und wenn gezeigt ist, dass die

Funktion für alle x ≥ 0 konstant ist, dann ist sie es auch damit auch für alle

negativen x.

Sei nun 0 < x < 1 Betrachte dann die Folge  x ; x² ; x⁴ ; x⁸ etc .

dann ist f(x) = f(x² ) = f (( x² ) ²) = f ( x⁴ )  etc und die Folge

x ; x² ; x⁴ ; x⁸ geht gegen Null ( Teilfolge der geom. Folge) und

Damit geht wegen der Stetigkeit  auch die Folge der Funktionswerte gegen  f(0).

also ist schon mal für alle 0 < x < 1 die Sache konstant.

wenn f(x²) = f(x)   dann ist auch f ( wurzel(x) ) = f(x) und für die x > 1 betrachtest du dann

die Folge wurzel(x) ,   wurzel( wurzel(x)) etc. die geht gegen 1 also alles gegen  f(1) .

Und weil sie alle gleich, alles konstant = f(1)

wegen Stetigkeit bei x = 1 und Konstanz für x<1 kannst du dann mit so einer Folge wie

0,9   0,99   0,999 argumentieren. Die sind alle < 1 also konstant = f(0) , aber die

x'e gehen gegen 1, also geht die Funktionswerte gegen f(1). Also f(0) = f(1).

Comments

Damit geht wegen der Stetigkeit  auch die Folge der Funktionswerte gegen  f(0).

Muss es nicht gegen f(1) sein nach dem Hinweis?