Gleichmäßige Konvergenz einer Reihe

Question

ich soll die Reihe

$$\sum_{k=2}^{\infty} \frac{cos(k^2x)}{k \cdot (log \ k)^2} \ , \quad x \in \mathbb{R}$$

auf gleichmäßige Konvergenz untersuchen. Leider ist das Thema ganz neu bei uns. Obwohl ich die Definition und Bedeutung verstehe (meine ich zumindest), weiß ich nicht wirklich, wie ich vorgehen muss. Im Internet finde ich dazu leider nur fast schon triviale Funktionen, aber nichts, das zu meiner Aufgabe passt. Muss ich zuerst punktweise Konvergenz zeigen oder geht das auch ohne, weil gleichmäßige Konvergenz ja punktweise Konvergenz "beinhaltet"?

Comments

Ich habe noch etwas weiter überlegt und glaube, dass mir das Weierstraßsche Majorantenkriterium (https://de.wikipedia.org/wiki/Weierstra%C3%9Fsches_Majorantenkriterium) helfen kann. Dann ich kann ja aufgrund des Wertebereiches des Cosinus folgende Abschätzung machen:

$$ \left | \frac{cos(k^2x)}{k \cdot (log \ k)^2} \right | \le \frac{1}{k \cdot (log \ k)^2} \ .$$

Wenn ich jetzt zeige, dass der zweite Ausdruck konvergiert, dann folgt daraus doch eigentlich, dass meine Reihe gemäß dem Weierstraßschen Majorantenkriterium gleichmäßig konvergiert, richtig?