Aufgabe zu Äquivalenzrelationen:

Question

ich habe noch eine Aufgabe übrig, weiss aber nicht weiter:

Ist *: M × M -> M eine Verknüpfung, sodass für a, a', b, b' ∈ M mit a ∼ a' und b ∼ b' auch a ∗ b ∼ a'∗ b' gilt, so existiert eine eindeutig bestimmte, wohldefinierte Verknüpfung ** : (M/ ∼) × (M/ ∼) → M/ ∼ mit [x] ** [y] = [x ∗ y] für alle x, y ∈ M.

:-)

Comments

Gerade niemand online??? :-/

Answer 1

Die Verknüpfung ** ist bereits durch die Aufgabenstellung eindeutig bestimmt.

Es muss noch gezeigt werden, dass sie wohldefiniert ist, dass also [x] ** [y] = [x'] ** [y'] ist, wenn [x] = [x'] und [y] = [y'] ist.

Sei dazu x' ∈ [x] und y'∈ [y]. Dann ist x'~x und y'~y. Nach Voraussetzung ist dann x'*y' ∼ x∗y, also x'*y'∈[x*y]. Es gilt daher [x']**[y'] = [x'*y'] = [x*y] = [x]**[y].