Beweise zu den Äquivalenzrelationen

Question

Aufgabe:

Seien \( a, b \in \mathbb{R} . \) Wir definieren \( a \sim b \) genau dann, wenn \( a-b \in \mathbb{Z} \) ist. Zeige, dass eine Äquivalenzrelation auf \( \mathbb{R} \) ist. Was ist die Äquivalenzklasse von \( 5 \)?

Seien \( v=\left(v_{1}, v_{2}\right), w=\left(w_{1}, w_{2}\right) \in M=\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \mid x_{1} \neq 0 \vee x_{2} \neq 0\right\} . \) Wir definieren

\( \left(v_{1}, v_{2}\right) \sim\left(w_{1}, w_{2}\right) \quad \vdots \quad \exists \mathrm{a} \in \mathbb{R} \backslash\{0\}: \mathrm{a} \cdot v_{1}=w_{1} \wedge \mathrm{a} \cdot v_{2}=w_{2} \)

Zeige, dass \( \sim \) eine Äquivalenzrelation auf \( M \) ist und zeichne die Äquivalenzklassen zu \( (1,1) \) und \( (-2,3) \) in die Zahlenebene \( R^{2}=\mathbb{R} \times \mathbb{R} \) ein.

Answer 1

Zum ersten:

a - b aus Z ist Äquivalenz.rel. da:

reflexiv für alle a aus IR ist a-a = 0 also aus Z

symmetrisch, wenn a-b aus Z dann auch b-a aus Z

transitiv, wenn a-b aus und b-c aus Z, dann
a-b = k aus Z   und b-c = n aus Z also c = b-n
a-c = a - ( b - n ) = a-b + n = k +n

und mit zwei Elementen aus Z ist auch die Summe aus Z.

Klasse zu 5 sind alle Elemente von R, die sich von 5 nur um einen ganzzahligen Summanden unterscheiden, also ist die Klasse ganz Z.