Es ist n ~ n+7 laut Definition von ~.
Es ist n+7 ~ n+7+7 laut Definition von ~.
Weil ~ eine Äquivalenzrelation ist, ist ~ transitiv.
Also gilt auch
n ~ n+7+7.
Es ist n+7+7+7-10 ~ n+7+7+7-10+10 laut Definition von ~.
Wegen n+7+7+7-10+10 = n+7+7+7 gilt deshalb auch
n+7+7+7-10 ~ n+7+7+7.
Weil ~ eine Äquivalenzrelation ist, ist ~ symmetrisch.
Also gilt auch
n+7+7+7 ~ n+7+7+7-10.
Mittels n := 1 bekommt man 1 ~ 2.
Mittels n := 2 bekommt man 2 ~ 3.
Mittels vollständiger Induktion bekommt man m ~ n für alle m, n ∈ ℕ. Deshalb gibt es eine einzige Äquivalenzklasse.