Aufgabe zu Äquivalenzrelationen, gilt 1~2?

Question

Aufgabe:

Sei ~ eine Äquivalenzrelation auf der Menge der natürlichen Zahlen ℕ derart, dass

a ~ (a+7) und a ~ (a+10)

für alle a ∈ ℕ gilt. Gilt 1 ~ 2? Wie viele Elemente hat der Quotient ℕ/~?

Ich nehme an, dass 1 ~ 2 nicht gilt, weil es existiert kein a∈ℕ, sodass a ~ (a+7) zu 1 ~ 2 wird. Jedoch weiss ich nicht wie ich dies formal beweisen kann. Bei der zweiten Frage würde ich sagen, dass der Quotient unendliche Elemente hat, weil es unendliche Äquivalenzklassen gibt, aber ich bin mir nicht sicher ob dies stimmt.

Comments

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Ein paar Schlangen zu ergänzen wäre doch wohl die naheliegendere Interpretation gewesen.

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Vom Duplikat:

Titel: 3. (a) Sei ∼ eine Aquivalenzrelation auf der Menge der natürlichen Zahlen N derart, dass (2) a ∼ (a + 7) und a ∼ (a + 10

Stichworte: äquivalenzrelation,lineare-algebra,äquivalenzklassen,mengen

Aufgabe:

3. (a)
Sei ∼ eine Aquivalenzrelation auf der Menge der natürlichen Zahlen N derart, dass (2) a ∼ (a + 7) und a ∼ (a + 10)

für alle a ∈ N gilt. Gilt 1 ∼ 2? Wie viele Elemente hat der Quotient N/∼?

Problem/Ansatz:

Wie kann man bei so einem Problem schrittweise vorgehen? Bin leider noch nicht so geübt in ÄR und habe mit der Fragestellung ein bisschen Probleme.

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Ist dieses "Duplikat" am richtigen Ort gelandet?

Wenn ja, bitte Originalfrage entsprechend berichtigen(lassen), also kommentieren. Danke.

Answer 1

Es ist n ~ n+7 ~ n+7+7 ~ n+7+7+7  ~ n+7+7+7-10 ~ n+7+7+7-10-10 = n+1.

Comments

könntest du deine Herangehensweise schrittweise erklären?

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Es ist n ~ n+7 laut Definition von ~.

Es ist n+7 ~ n+7+7 laut Definition von ~.

Weil ~ eine Äquivalenzrelation ist, ist ~ transitiv.

Also gilt auch

        n ~ n+7+7.

Es ist n+7+7+7-10 ~ n+7+7+7-10+10 laut Definition von ~.

Wegen n+7+7+7-10+10 = n+7+7+7 gilt deshalb auch

    n+7+7+7-10 ~ n+7+7+7.

Weil ~ eine Äquivalenzrelation ist, ist ~ symmetrisch.

Also gilt auch

        n+7+7+7 ~ n+7+7+7-10.

Mittels n := 1 bekommt man 1 ~ 2.

Mittels n := 2 bekommt man 2 ~ 3.

Mittels vollständiger Induktion bekommt man m ~ n für alle m, n ∈ ℕ. Deshalb gibt es eine einzige Äquivalenzklasse.

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Vielen lieben Dank! Was für eine super Antwort :) Rettest mir den Tag. Danke Oswald!

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Bis n ~ n+7+7 kann ich noch folgen.

Warum aber n+7+7+7-10 ~ n+7+7+7-10+10 ? Von wo kommt das -10?

Und warum ergibt sich aus n:=1.  1~2?

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Warum aber n+7+7+7-10 ~ n+7+7+7-10+10 ?

Weil setze n+7+7+7-10 für a in

        a ~ (a+10)

ein.

Von wo kommt das -10?

Das habe ich mir ausgedacht.

Und warum ergibt sich aus n:=1. 1~2?

Wegen der Äquivalenzen

        1 ~ 8 ~ 15  ~ 22 ~ 12 ~ 2

und der Transitivität von ~.