Integieren vermutlich mit Substitution f(x) = (9x^2 -4x + 1)/(9x^3 - 6x^2 + 3x -1)

Question

Sitze seit ner weile an folgendem term, welchen ich zu integrieren versuche.

$$\int \frac { 9 x ^ { 2 } - 4 x + 1 } { 9 x ^ { 3 } - 6 x ^ { 2 } + 3 x - 1 } d x$$

Auch wolframalpha kann mir nicht weiterhelfen, es zeigt zwar die schritte teilweise an aber da steig ich nicht so ganz durch.

Ich weiss mittlerweile, dass ich es wohl mit substitution lösen muss aber dann hört es leider auch schon auf.

Comments

Ich nehme an, dass du hier nicht um die Partialbruchzerlegung herumkommst.

Link zur Lektüre, bis jemand hier Zeit hat. https://www.mathelounge.de/14129/integral-uber-partialbruchzerlegung-f-x-x-2-1-x-3-9x-2-26x-24

Substituieren ist in der Tat schlauer.

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Partialbruchzerlegung ist schwierig, da das Nennerpolynom keine ganzzahlige Nullstellen hat.

Answer 1

∫ (9·x^2 - 4·x + 1)/(9·x^3 - 6·x^2 + 3·x - 1) dx

Ich substituiere u = 9·x^3 - 6·x^2 + 3·x - 1
du/dx = 27·x^2 - 12·x + 3 = 3 * (9·x^2 - 4·x + 1)
dx = du / (3 * (9·x^2 - 4·x + 1))

∫ (9·x^2 - 4·x + 1)/u * du / (3 * (9·x^2 - 4·x + 1))
∫ 1/(3*u) du
1/3 * ln(u)

Ich resubstituiere

1/3 * ln(9·x^3 - 6·x^2 + 3·x - 1)

Fertig.