die Reihenfolge, in welcher die Karten ausgeteilt werden, ist zunächst mal total egal. Man kann einfach von einem zufällig verteilten Deck ausgehen.
Für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit kann man sich die \( 40 \) mit je einer Karte zu besetzenden Slots in vier aufeinander folgende Schachteln der Größe \( 10 \) eingeteilt vorstellen.
Die Anzahl der Möglichkeiten, wie sich die \( 20 \) blauen Karten auf diese \( 40 \) Slots verteilen lassen, entspricht zunächst der Anzahl der \( 20 \)-elementigen Teilmengen einer \( 40 \)-elementigen Menge:
\( |\Omega| = \binom{40}{20} = 137.846.528.820 \).
Wenn ein Spieler \( 10 \) blaue Karten hat, dann ist die Anzahl der Möglichkeiten, die übrigen \( 10 \) blauen Karten auf die verbleibenden \( 30 \) Slots aufzuteilen, gleich der Anzahl der \( 10 \)-elementigen Teilmengen einer \( 30 \)-elementigen Menge:
\( \binom{30}{10} = 30.045.015 \).
Da der Fall, dass ein Spieler \( 10 \) blaue Karten hat, für \( 4 \) verschiedene Spieler eintreten kann, ist die Anzahl dieser Möglichkeiten auch \( 4 \)-mal so groß:
\( 4 \binom{30}{10} \).
Hiervon muss man die \( 6 \) seltenen Fälle, dass zwei Spieler genau \( 10 \) blaue Karten haben (es ist \( \binom{4}{2} = 6 \)) wieder abziehen, da sie sonst doppelt gezählt werden:
\( |A| = 4 \binom{30}{10} - 6 \).
Man hätte auch von \( \binom{30}{10} \) die drei seltenen Ereignisse abziehen können, dass ein weiterer Spieler \( 10 \) blaue Karten hat und am Ende die \( 6 \) seltenen Ereignisse, dass zwei Spieler genau \( 10 \) Karten haben, hinzufügen können, was zum gleichen Ergebnis führt:
\( |A| = 4\left( \binom{30}{10} -3\right) + 6 = 4\binom{30}{10} - 12 + 6 = 4\binom{30}{10} - 6 \).
Somit ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Spieler \( 10 \) blaue Karten bekommt,
\( P = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{4\binom{30}{10} - 6}{\binom{40}{20}} = \frac{(4\ \cdot\ 30.045.015) - 6}{137.846.528.820} \approx 0,00087183 \approx 0,087\ \%\)
und die Aufgabe ist gelöst.
Es empfiehlt sich natürlich, zur Übung auch selbst alles nochmal nachzurechnen.
Übrigens: Da \( 6 \ll 30.045.015 \) ist, unterscheidet sich die Wahrscheinlichkeit \( P \) von der Wahrscheinlichkeit
\( P' = \frac{4\binom{30}{10}}{\binom{40}{20}} \approx 0,0008713 \)
erst ab der elften Nachkommastelle, gemäß
\( | P - P' | = \left|\frac{-6}{\binom{40}{20}}\right| \approx 4,35 \cdot 10^{-11} \).
Das heißt, man könnte die \( -6 \) zur Vereinfachung der Schätzung auch weglassen, da sie um Größenordnungen kleiner als \( 4 \binom{30}{10} \) bzw. auch als \( \binom{40}{20} \) ist.
Mister
PS: Onlinerechner, um Binomialkoeffizienten zu bestimmen: http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/binkoeff1.htm .
