Zeigen Sie, dass die Menge beschränkt ist (Bernoulli)

Question

ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen:
Zeigen Sie, dass die Menge {n/(3/2)^n} beschränkt ist.Verwenden Sie die Bernoulli-Ungleichung.Ich habe bereits feststellen können, dass die untere Schranke 0 und die obere 1 sein wird.Nun ist die Frage wie ich das mit Bernoulli zeigen kann.Wo muss ich die Menge in der Ungleichung (1+h)^n>=1+nh einsetzen?

Answer 1

Wie waer's mit 3/2 =1+1/2?

Comments

Ich weiß leider nicht, was du jetzt damit meinst.Vielleicht stehe ich auch einfach nur auf dem Schlauch.Meine Frage war ja, wo ich meine Menge in der Bernoulli-Ungleichung einsetzen muss.

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1) Man setzt keine Menge in eine Ungleichung ein und auch nicht umgekehrt. Man kann bestenfalls eine Ungleichung auf die Elemente einer Menge anwenden.

2) Die Elemente der Menge haben hier die Form \(\frac{n}{(3/2)^n}\). Auf die soll die Bernoulli-Ungleichung angewandt werden.

3) Ich habe Dir vorgeschlagen, 3/2=1+1/2 zu benutzen, was dann zu \(\frac{n}{(3/2)^n}=\frac{n}{(1+1/2)^n}\) fuehrt.

Wenn Du jetzt immer noch keine Idee hast, wo (naemlich im Nenner) und wie (es ist h=1/2 in Deiner Formulierung) hier die Bernoulli-Ungleichung angewendet werden soll, dann weiss ich auch nicht mehr.

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HHU - Ersti Aufgabe :D

Schau jetzt einfach auf die rechte Seite der Ungleichung und versuche das nach dem bekannten Term umzuformen.

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<n/(1+0,5n)

<n/0,5n

<1/0,5

=2

ist die zwei jetzt meine schranke oder was zeigt die mir an? wie komme ich auf die schranken ?

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Alle Elemente aus der Menge sind <2. Die 2 ist eine obere Schranke.

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okay aber eig soll die untere schranke ja wohl 0(infimum) und die obere 1(supremum) sein wie komme ich dann auf die beiden schranken ?

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Die Frage ist nicht nach der kleinsten oberen Schranke sondern nach einer, und 2 ist eine. Die kleinste obere Schranke ist übrigens nicht 1. Du kannst ja das Maximum der Funktion bestimmen wenn Du \( n \) nicht als natürliche Zahl sondern als reelle Zahl betrachtest. Mann bekommst dann \( \frac{1}{ln(3)-ln(2)} \) heraus. Der Funktionswert liegt bei ca. 0.90730234, also unter 1.

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Ich kann das ganze leider nicht nachvollziehen. Kann jemand die Lösung in mathematischer Schreibweise posten? Verstehe nicht was mir die Gleichung (n/(3/2)^n)= (n/(1+1/2)^n) bringt und wie man hier auf 2 kommt:

<n/(1+0,5n)

<n/0,5n

<1/0,5

=2

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Fangt doch mal etwas früher mit den Übungsaufgaben an :P

Zeige, dass nach oben beschränkt:

(1+0.5)^n >= 1+0.5*n          | ( )^-1 und *n

=> n/(1+0.5)^n < n/(1+0.5*n)   | da die Verkleinerung des Nenners die rechte

=> n/(1+0.5)^n < n/(0.5*n)           Seite noch größer macht

=> n/(1+0.5)^n < 2                     | Kürze n und voilá

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Hier die mathematische Schreibweise

$$ \frac{n}{ \left( \frac{3}{2} \right)^n } = \frac{n}{ \left( 1+\frac{1}{2} \right)^n } \le \frac{n}{1+\frac{n}{2}} = \frac{2n}{2+n} = \frac{2}{\frac{2}{n}+1} < 2 $$

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Jetzt hab ich es verstanden. Wusste zu Beginn nicht was das Ziel der Umformung sein soll. In der Bruchschreibweise wird ersichtlich wieso 2 die obere Schranke sein muss.