Wie beweise ich das folgende Abbildung nicht injektiv ist?

Question

Sei f : R × R nach R definiert durch f((x, y)) = x + y für alle (x, y) Element R × R. Dann ist f nicht injektiv, denn es sind (0, 3) und (1, 2) verschiedene Elemente in R × R, für die f((0, 3)) = f((1, 2)) = 3 gilt.

Ich verstehe warum die Abbildung nicht injektiv ist, mein Problem liegt aber darin zu verstehen, wie ich dies beweisen kann, wenn ich jetzt nicht auf (0,3) und (1,2) kommen würde. Muss ich hier einfach beliebige Zahlenpaare einsetzen die bei Addition das gleiche Ergebnis liefern. Geht das auch ohne raten, oder muss man das in diesem Fall.

Comments

Verwende z.B. die Kommutativität der Addition. Es ist  f((x,y)) = x + y = y + x = f((y,x)).

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Und wie genau muss ich mir das vorstellen?

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Wähle  x ≠ y. Dann ist  (x,y) ≠ (y,x)  aber  f((x,y)) = f((y,x)).

Answer 1

Löse die Gleichung f(x,y)=x+y nach y auf. Die Gleichung hat keine eindeutige Lösung. Anders formultiert, zu jedem vorgegebenen Funktionwert f(x,y) gibt es mehrere Möglichkeiten, x und y zu wählen. Das ist ein Widerspruch zur Injektivität.