Funktion auf Riemann Integrierbarkeit prüfen

Question

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Kann mirJemand bei folgender Aufgabe aushelfen?

Zu entscheiden ist ob die Funktion f: R->R

f(x)=	x²+1    für x € Q
	1          für x∉Q

auf dem Intervall [-1,1] (Riemann-) integrierbar ist.

Mir ist bewusst, dass man schaut, das Ober- und Untersumme gleich sind. Allerdings ist nicht unbedingt mein Thema, so dass ich hier keinen wirklichen Ansatz finde.

Wäre nett, wenn mir Jemand hilft. :-)

Comments

Hattet ihr das Lebesque-Kriterium der Riemann-Integrierbarkeit.

Damit ginge es hier relativ einfach.

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Die Voraussetzungen dieses Kriteriums sind hier nicht erfüllt, daher nicht anwendbar.

Ich würde eher verwenden, dass zwischen zwei rationalen Zahlen auch immer eine irrationale liegt (und umgekehrt).

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Welche Voraussetzungen sind denn nicht erfüllt?

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Ach vergiss es. Ich hatte nicht an das "genau dann wenn" gedacht. Sorry.

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Doch ist es. Die rationalen Zahlen sind eine Nullmenge.

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Huch, ich hatte meinen Kommentar oben schon verändert. ;-)

Aber zu deiner Antwort: Die Funktion ist nur in \(x=0\) stetig.

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Es geht hier aber nicht um Stetigkeit, sondern um fast überall Stetigkeit.

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Hmm, vielleicht reden wir aneinander vorbei.

Also: Die Funktion ist nicht fast überall stetig (nur in \(x=0\)) und damit nach dem Lebesgue-Kriterium nicht Riemann-integrierbar.

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danke, aber Lebesque hatten wir noch nicht. Bisher nur Riemann mit seinen Summen und Integrabilitätskriterien.

geht die Aufgabe auch einfacher zu lösen?

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Was für Integrabilitätskriterien hattet ihr denn?

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sorry, der Rechhner hatte grad Probleme

Answer 1

Fuer \(\mathcal{Z}:0=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_n=1\) ist $$\overline{S}_\mathcal{Z}-\underline{S}_\mathcal{Z}=\sum_{k=1}^n x_k^2(x_k-x_{k-1}).$$ Die Differenz ist damit selber eine Obersumme, naemlich für \(\int_0^1x^2\,dx=1/3\). Insbesondere konvergiert sie nicht gegen 0 bei Verfeinerung der Zerlegung.

Comments

wir betrachten hier aber doch gar nicht  x² sondern x²+1

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Was Du nicht sagst. Was ist denn $$\sup f([x_{k-1},x_k])-\inf f([x_{k-1},x_k])$$ hier? Du hast Dir offensichtlich nicht mal die Muehe gemacht, für das zweite Kriterium oben einfach mal die gegebene Funktion einzusetzen und das dann ein bisschen auszurechnen.

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ja ist mir schon bewusst, dass die 1er sich aufheben. Das widerspricht sich jetzt aber mit den Kommentaren oben, daf anscheinend nicht integrierbar ist. :-(

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Wie kommst Du denn auf diese Schnapsidee? Wenn \(\overline{S}_\mathcal{Z}-\underline{S}_\mathcal{Z}\ge1/3\) für alle \(\mathcal{Z}\) gezeigt ist, dann existiert das Integral per Kriterium von oben nicht.