Bestimme für welches n die Ungleichung 3^{2^n} < 2^{3^n} gilt und beweise die Behauptung.

Question

wir sollen beweisen, für welche "n" die Behauptung gilt:
3^2^n< 2^3^n , mit n∈ℕ
Nun stellt man durch Einsetzen fest, dass die Behauptung für n=1 falsch ist und für n=2 wahr. Ich habe dann versucht mit vollständiger Induktion zu beweisen, dass die Aussage für n≥2 wahr ist.
Induktionsschluss: 
3^2^{n+1} < 2^3^{n+1}
⇒ 3^2^n * 3^2^n < 2^3^n * 2^3^n

Jetzt weiß ich weder ob ich richtig umgeformt habe, weil ich mit diesem "Potenzturm" nicht so zurecht komme, noch wie ich weitermachen soll.
Bemerkung: n bzw. (n+1) ist hierbei eine weitere Potenz der ersten! 

Answer 1

$$ 3^{2^n}< 2^{3^n} $$
$$ \ln\left(    3^{2^n}   \right) <  \ln\left(    2^{3^n}   \right)$$
$$ {2^n} \cdot \ln\left(    3   \right) < {3^n} \cdot \ln\left(    2   \right)$$
$$ {2^n}  < {3^n} \cdot \frac{\ln\left(    2   \right)}{\ln\left(3 \right)}$$
$$ \frac{2^n}{3^n}  <   \frac{\ln\left(    2   \right)}{\ln\left(3 \right)}$$
$$ \left(\frac{2}{3}\right)^n  <   \frac{\ln\left(    2   \right)}{\ln\left(3 \right)}$$
$$ \ln\left(\left(\frac{2}{3}\right)^n \right) <  \ln\left( \frac{\ln\left(    2   \right)}{\ln\left(3 \right)}\right)$$
$$n \cdot  \ln\left(\frac{2}{3} \right) <  \ln\left( \frac{\ln\left(    2   \right)}{\ln\left(3 \right)}\right)$$
$$n \gt \frac{ \ln\left( \frac{\ln\left(    2   \right)}{\ln\left(3 \right)}\right)}{\ln\left(\frac{2}{3} \right)}$$

Achtung!

Drehung des Relationszeichens, da $${\ln\left(\frac{2}{3} \right)}$$ einen negativen Wert besitzt!

Comments

Danke erstmal für die Antwort!
Aber leider muss ich einen Weg finden ohne den Logarithmus zu benutzen, da ich ihn in der Vorlesung noch nicht hatte und mich nur auf Informationen aus diesen beziehen darf.
Gibt es auch eine Möglichkeit das ohne den Logarithmus zu lösen?

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"ohne den Logarithmus zu benutzen, da ich ihn in der Vorlesung noch nicht hatte"

Vorlesung hört sich nach Uni an - Voraussetzung dafür ist Abitur und Abiturwissen beinhaltet Logarithmus.

Soll nicht heissen, dass es absolut keinen anderen Weg gäbe, die Aufgabe anzugehen - nur nicht mehr heute für mich ;)

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gibt es eventuell einen Weg hauptsächlich mit den Potenzgesetzen und Abschätzen zu arbeiten ?