Optimale Fläche bei Prisma mit gleichseitigem Dreieck

Question

ich verzweifele gerade an dieser Aufgabe:

Aus einer 100 cm  langen Stück Draht soll ein Kantenmodell eines Prismas hergestellt

werden, dessen Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge a bildet.

Berechnen sie die Kantenlängen des Prismas so ,dass das Prismavolumen am größten ist.

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Ein paar Hinweise. Du brauchst eine Zielfunktion und eine Nebenbedingung. Die zu optimierende Zielfunktion ist das Volumen. Es berechnet sich nach der Formel V = A * h. Hierbei ist A die Fläche des Dreiecks und h die Höhe des Prismas. Die Nebenbedingung ist, dass das gesamte Prisma aus 100cm Draht gemacht werden muss. D.h. du hast für jedes Dreieck 3 x a ergibt 6a. Für die Seitenkanten hast du 3*h. Also: 6a+3h = 100. Jetzt die Nebenbedingung so in die Zielfunktion einsetzen, dass eine Variable rausfliegt. Dann das ganze ableiten und Nullsetzen. Bei mehreren Lösungen untersuchen, welche Sinn macht. Fertig! Magst du mal einen Versuch starten?

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Noch ein Hinweis sein gestattet. In der Überschrift der Aufgabe ist die Rede von einer optimalen Fläche. Im Aufgabentext hingegen soll das Volumen optimiert werden. Das ist widersprüchlich.

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Okay hab das jetzt so gemacht
A= (a^2*√3/4)*h -> Formel Prisma mit gleichseitigem Dreieck als Grundfläche
Nebenbedingung: 6a=100-3h ->a=100-0,5 h
                         100-6a=3h -> 100-2a=h
Das in die Hauptbedingung eingesetzt gibt (100-0,5h)^2/4)*√3*h
Das ist der Punkt wo ich dann schon lange überhaupt nicht mehr weiterkomme.
Müsste jetzt das Maximum ausrechnen hätte dann aber trotzdem nicht die Seitenlängen
außerdem ist das Ergebnis falsch.

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Ok. Du hast leider einen kleinen Fehler in deinen Umformungen drin. Da du ihn zweimal gemacht hast, befürchte ich, dass das keine Flüchtigkeit ist. Deswegen solltest du das Umformen nochmal etwas üben.

Nebenbedingung: 6a=100-3h ->a=100-0,5 h Das ist leider falsch.

Du teilst die Gleichung durch 6, und zwar bitte alle Summanden. Es ergibt sich:

a = 100/6 - 0,5h

Weiterhin rechnest du

100-6a=3h -> 100-2a=h Hier derselbe Fehler.

Bitte auch hier die ganze Gleichung durch 3 teilen: h = 100/3 - 2a

Damit kannst du jetzt weiterrechnen, oder?

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Danke erstmal.
Leider nicht.  Das oben waren total blöde Fehler, war dabei schon am überlegen wie es weitergeht.

Hatte jetzt ((100:6-0.5h)^2*√3)/4*h -> Der TR gibt da keine Lösung für das Maximum

Könntest du mir den kompletten Rechenweg zeigen, wie komme ich denn dann vom Gesamtvolumen auf das Maximum von a ? Komme einfach mit diesem Aufgabentypen nicht zurecht, Deswegen bringen mir die Tipps momentan noch wenig, da ich es erst im Gesamtzusammenhang verstehen muss.

Answer 1

A = a^2*√3/4 *h

h = 100/3 - 2a

einsetzen

A = a^2 * √3/4 * (100/3 - 2a)

= a^2 * √3/4 * 100/3 - 2a^3 * √3/4

Hiervon jetzt die Ableitung

A' = √3*50/3*a - 3/2*√3*a^2 =0

-3/2a^2 + 50/3*a = 0 | /-3/2

a^2 - 100/9a = 0

a (a-100/9) = 0

a = 100/9

a = 11 1/9

h = 100/3 - 2*100/9

h = 300/9 - 200/9 = 100/9

Also es kommt für a und h jeweils 11u1/9 raus

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~plot~x^2*sqrt(3)/4*100/3-2x^3*sqrt(3)/4;[[8|16|550|600]]~plot~