Nullfolgen zeigen von (an)n∈N

Question

Zeigen Sie, dass fur eine Folge (an)n∈N und eine reelle Zahl a gilt:

(a) (an)n∈N ist Nullfolge genau dann, wenn (|an|)n∈N Nullfolge ist.

(b) Ist (an)n∈N konvergent mit Limes a, so ist (|an|)n∈N konvergent mit Limes |a|. Gilt hier

auch die Umkehrung?

Hinweis. Teil (b): Fallunterscheidung a < 0, a = 0, a > 0.

Comments

Bei der Aufgabe sdollst Du zeigen, dass Du die Definition des Folgengrenzwertes verstanden hast, und elementare Rechnungen mit Betraegen beherrschst. -- Nicht, dass Du die Frage an Foren weiterleiten kannst.

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Hätte ich die Aufgabe verstanden und wüsste auch nur einen Ansatzpunkt dann würde ich sie nicht versuchen durch Hilfe des Forums zu lösen.

Ich erwarte keine Lösung. Sondern nur eine Ansatz!

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Ansatzpunkte? Schreibe bei a) auf, was \(a_n\to0\) in der \(\epsilon\)-Formulierung bedeutet, und was man für \(|a_n|\to0\) haben muss.

Answer 1

Hi,
\( a_n \) ist Nullfolge wenn es ein \( N \in \mathbb{N} \) gibt, s.d. für alle \( n > N \) und für jedes \( \epsilon > 0 \) gilt, \( \left| a_n - 0 \right| < \epsilon \)

Da $$ \left| a_n - 0 \right| = \left| \left|a_n\right|-0 \right| $$ gilt, folgt (a)