1. Sei an Nullfolge, das heißt:
∀ε>0 ∃n0∈ℕ ∀n≥n0: |an|<ε
Da auf beiden Seiten positive Zahlen stehen, kann ich in der Gleichung die Wurzel ziehen und erhalte:
∀ε>0 ∃n0∈ℕ ∀n≥n0: |√an|<√ε
Mit anderen Worten:
∀ε'>0 ∃n0∈ℕ ∀n≥n0: |√an|<ε'
⇒√an ist eine Nullfolge.
2. Konvergie an gegen a, das heißt sei an-a Nullfolge:
∀ε>0 ∃n0∈ℕ ∀n≥n0: |an-a|<ε
Da Ungleichungen in der Konvergenz bis auf Randpunkte erhalten bleiben folgt aus an>0 -> a≥0.
Die Gleichung aus der Definition lässt sich umformen zu:
|√an-√a|*|√an+√a|
also ist auch diese Folge eine Nullfolge.
Da die Wurzeln im rechten Faktor positive Zahlen sind, gibt es zwei Möglichkeiten:
1.: √a = 0 ⇒ a = 0 ⇒ Fall aus Aufgabe 1
2.: √a ≠ 0 ⇒ |√an+√a| > 0 für alle n. ⇒ √an-√a ist Nullfolge. ⇒ √an konvergiert gegen √a.
