Gegeben sei die Funktion f: f(x) = 3x^3 + px^2 +3x. Nullstellen?

Question

Gegeben sei die Funktion f: f(x) = 3x³ + px² +3x

a) Für welchen Wert von p hat f die Nullstelle x₀ = -3?

b) Welche Nullstellen hat f für p = -10?

c) Für welchen Wert von p ist der Graph von f punktsymmetrisch bezüglich des Ursprungs des Koordinatensystems? Beweisen Sie Ihre Antwort!

Comments

a) und b) 

1. Schritt: x ausklammern

2. Schritt: Quadratische Gleichung lösen. 

Answer 1

Gegeben sei die Funktion f: f(x) = 3x³ + px² +3x

a) Für welchen Wert von p hat f die Nullstelle x₀ = -3?

3x³ + px² +3x = 0 , -3 für x einsetzen, p ausrechnen    [p=10]

b) Welche Nullstellen hat f für p = -10?

3x³ - 10x² + 3x = 0 ⇔ x • (3x² - 10x + 3) = 0 ⇔ x=0 oder x² - 10/3 • x + 1 = 0 

Die beiden restlichen Nullstellen mit pq-Formel:  x = 1/3 ∨ x = 3

c) Für welchen Wert von p ist der Graph von f punktsymmetrisch bezüglich des Ursprungs des Koordinatensystems? Beweisen Sie Ihre Antwort!

f(x) =  3x³ + 3x  [p=0]  ist punktsymmetrisch bzgl. des Ursprungs:

f(-x) = 3•(-x)³ + 3•(-x) = -3x³ - 3x = - (3x³ + 3x) = f(x)

Gruß Wolfgang