Question

Es seien X und Y Mengen und f : X → Y eine Abbildung. Ferner seien I und J zwei nichtleere Mengen. Zu jedem Element i ∈ I sei eine Teilmenge Xi von X gegeben. Zu jedem Element j ∈ J sei eine Teilmenge Yj von Y gegeben.


$$f^{ -1 }\left( \bigcup _{ j\epsilon J }^{ }{ { Y }_{ j } } \right) =\bigcup _{ j\epsilon J }^{ }{ f^{ -1 }\left( { Y }_{ j } \right) }$$

zunächst der beweis von links nach rechts 


$$f^{ -1 }\left( \bigcup _{ j\epsilon J }^{ }{ { Y }_{ j } } \right) = x\quad \epsilon \quad X\quad und\quad f\left( x \right) \quad \epsilon \quad \bigcup _{ j\epsilon J }^{ }{ { Y }_{ j } }$$


leider weiss ich jetzt aber nicht weiter ... 

f(x) müsste dann y sein und dann weiss ich nicht weiter ... 

bin dankbar für jeden hinweis oder tipp wie es jetzt weitergeht ...

Answer 1

sei $x \in f^{-1} \left( \bigcup \limits_{j\in J} Y_j \right)$, also $f(x) \in \bigcup \limits_{j\in J} Y_j$.

Das bedeutet es ex, $j_0 \in J$ mit $f(x) \in Y_{j_0}$, was bedeutet, dass $x \in f^{-1}(Y_{j_0})$ und damit $x \in \bigcup \limits_{j \in J} f^{-1}(Y_j)$.

Du solltest dir eventuell überlegen, ob alle Schritte äquivalent sind.

Gruß

Comments

klar sind alles definitionen die dann eingesetzt wurden vielen dank hat mir sehr geholfen 


jetzt hab ich es auch komplett vertsanden

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somit gilt ja auch für das folgende Beispiel 

$$ f(∪_i∈I X_i) = ∪_i∈I f(X_i)

x ∈ f(∪_{i∈ I}X_i)

f^-1(x)∈ ∪_i∈I X_i

ex. i∈I : f^-1(x) ∈ X_i

ex. i ∈I : x∈ f(X_i)

x ∈ ∪_i∈If(X_i) 

jeweils mit äquivalent davor