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ich bräuchte eine kleine Hilfestellung bei dieser Aufgabe:

Bild Mathematik

Ich wollte zuerst die 1) Beschränktheit, dann die 2) Monotonie nachweisen und schließlich den 3) Grenzwert bestimmen. Nur bereits bei 1) scheitere ich ... hat jemand vielleicht einen Ansatz? Wie ist x0 bestimmt?

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sei c eine beliebige Konstante

gilt xn+1 >= xn für alle n >= n0 dann monoton steigend ab n0
mit xn+1 <= c für alle n >= n0 dann konvergiert die Folge

gilt xn+1 <= xn für alle n >= n0 dann monoton fallend ab n0
mit xn+1 >= c für alle n >= n0 dann konvergiert die Folge

Ich hoffe damit kommst Du schon einmal weiter.

Gruß

Na super, hatte den Kommentar noch bearbeitet und fast fertig, jetzt ist er weg. Vielleicht hilft ein kurzer Ansatz:

Die Funktion mit der die Reihe gebildet wird, hat einen Hochpunkt ( nach unten offene Parabel), d.h. für alle xn gilt xn <= xe.

Nach meiner Rechnung gilt xe = 1/a

Jetzt fehlt noch das ab einem n0 gilt xn+1 >= xn für alle n>=n0

Weiterhin ist zu zeigen, dass xe auch die obere Schranke ist. Ich weiss nicht ob es reicht, dass es der Hochpunkt der Reihenbildungsfunktion ist, da mir unbekannt ist, ob die Schranke trotzdem kleiner sein könnte.

1 Antwort

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Aufgabe:

$$ a \in (0,\inf) , x_0 \in \mathbb{R} \quad \text{mit} \quad 0 < x_0 <a^{-1}$$

Zeige dass die rekursiv definierte Folge

$$ (x_n)_{n=1}^{\inf} \quad \text{mit} \quad x_{n+1} = 2x_n - a \cdot {x_n}^2 $$

konvergiert und bestimme den Grenzwert.

Lösung:

sei

$$ f(x)= -a \cdot x^2 + 2 x $$

$$ f'(x) = -2a \cdot x + 2 $$

$$ f''(x) = -2a $$

$$ 0 = -2a \cdot x_e +2 \Leftrightarrow x_e=a^{-1} $$

$$ f(x_e)= f(a^{-1}) =-a \cdot (a^{-1})^2 + 2 a^{-1} = 2a^{-1} -a^{-1} = a^{-1} $$

mit f''(xe) < 0 folgt E(a-1 | a-1 ) ist ein Hochpunkt. Da f(x) eine Parabel ist (quadratische Funktion) und f(xn) = xn+1 und f(xe)=xe und x0 < f(xe)= a-1  folgt xe>= xn ∀n.

Daraus folgt die Folge ist beschränkt durch xn <= a-1 ∀n.

Für monoton steigend muss gelten:

$$ x_{n+1} \geq x_n $$

$$  x_{n+1}=  2x_n - a \cdot {x_n}^2 \geq x_n $$

mit f(x)=0 für x1= 0 und x2 = 2a-1 und E (a-1 | a-1 ) gilt

$$ 0<f(x) < a^{-1} \quad \forall x \quad \text{mit} \quad 0<x<a^{-1} $$

daraus folgt dann 0<xn. Umformen:

$$ 2x_n - a \cdot {x_n}^2 \geq x_n $$

$$ 2 - a \cdot x_n \geq 1 $$

$$ 2- 1 \geq a \cdot x_n $$

$$a^{-1} \geq x_n $$

Damit ist die Monotie gezeigt und auch der Grenzwert = a-1.

Avatar von 2,4 k

Vielen Dank für die ausführliche Antwort (Ich bin der Fragesteller ;) ), habe es zwar bereits selbst berechnet, aber jetzt weiß ich wenigstens dass ich es richtig habe ^_^

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