Aufgabe:
$$ a \in (0,\inf) , x_0 \in \mathbb{R} \quad \text{mit} \quad 0 < x_0 <a^{-1}$$
Zeige dass die rekursiv definierte Folge
$$ (x_n)_{n=1}^{\inf} \quad \text{mit} \quad x_{n+1} = 2x_n - a \cdot {x_n}^2 $$
konvergiert und bestimme den Grenzwert.
Lösung:
sei
$$ f(x)= -a \cdot x^2 + 2 x $$
$$ f'(x) = -2a \cdot x + 2 $$
$$ f''(x) = -2a $$
$$ 0 = -2a \cdot x_e +2 \Leftrightarrow x_e=a^{-1} $$
$$ f(x_e)= f(a^{-1}) =-a \cdot (a^{-1})^2 + 2 a^{-1} = 2a^{-1} -a^{-1} = a^{-1} $$
mit f''(xe) < 0 folgt E(a-1 | a-1 ) ist ein Hochpunkt. Da f(x) eine Parabel ist (quadratische Funktion) und f(xn) = xn+1 und f(xe)=xe und x0 < f(xe)= a-1 folgt xe>= xn ∀n.
Daraus folgt die Folge ist beschränkt durch xn <= a-1 ∀n.
Für monoton steigend muss gelten:
$$ x_{n+1} \geq x_n $$
$$ x_{n+1}= 2x_n - a \cdot {x_n}^2 \geq x_n $$
mit f(x)=0 für x1= 0 und x2 = 2a-1 und E (a-1 | a-1 ) gilt
$$ 0<f(x) < a^{-1} \quad \forall x \quad \text{mit} \quad 0<x<a^{-1} $$
daraus folgt dann 0<xn. Umformen:
$$ 2x_n - a \cdot {x_n}^2 \geq x_n $$
$$ 2 - a \cdot x_n \geq 1 $$
$$ 2- 1 \geq a \cdot x_n $$
$$a^{-1} \geq x_n $$
Damit ist die Monotie gezeigt und auch der Grenzwert = a-1.
