n*\sum _{ k=1 }^{ n }{ 1/(n^{ 2 }+k) }. Zeige, dass lim (n--> unendlich) von u_n = 1

Question

$$ Sei u_{ n }:=n*\sum _{ k=1 }^{ n }{ 1/(n^{ 2 }+k) } .Zeige,dasslim(n->∞)vonu_{ n }=1 $$

Für Tipps oder Lösungswege wär ich sehr dankbar:)

Answer 1

verwende das Sandwich-Lemma (Einschließungssatz).

Gruß

Comments

Danke erstmal für die schnelle Antwort
Genau das habe ich auch nachträglich als Tipp bekommen, nur weiß ich nicht genau, was ich damit anfangen soll. Könntest du eventuell genauer darauf eingehen?

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Zeige für alle \(n \in \mathbb{N}\) ist \( u_n \leq 1 \).
Weiterhin finde eine Folge \(a_n\) mit \( a_n \leq u_n\) und \(\lim \limits_{n \to \infty} a_n = 1 \), also eine Folge deren Grenzwert 1 ist und die die Folge \(u_n\) nach unten abschätzt.
Dann hast du alles was du brauchst für das Sandwich-Lemma.

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Ich habe eine Methode angewandt, die ich auch in einem Buch gefunden habe.
Und zwar habe ich eine Reihe genommen, die meiner ähnlich ist: Die harmonische Reihe...
Also die Summe aller 1/n.

Als nächstes habe ich meinen den Limes (n->∞)  von dem Ausgangsterm durch die 1/n genommen und kam bei n gegen ∞ auf den Grenzwert 1.

Bin ich momentan auf dem richtigen Weg oder liege ich nun total falsch?
Bin noch ein bisschen skeptisch, da ich ja nicht wirklich eine Folge a_n  gefunden habe. Ich wüsste auch nicht genau wie ich das tun soll..

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Sorry ich verstehe nicht was du mit deiner harmonischen Reihe da gemacht hast.

Das ist kein Hexenwerk. \(u_n\) ist ja eine Folge von Partialsummen. Schau doch mal allgemein, was in diesen Summen jeweils der kleinste Bruch ist. Dann ersetzt du jeden Summanden durch diesen kleinsten Bruch und hast eine Summe, die kleiner ist als die Summe vorher.