Wie zeigt man dass ℤ5 ein Körper ist?

Question

Hallo. Ich soll beweisen, dass Ring (ℤ₅, +, *) ein Körper ist. Ich weiß aber nicht, wie ich das mache. ℤ₅ sind doch die Zahlen {0,1,2,3,4} oder? Ich kenne die Eigenschaften von einem Körper, jedoch weiß ich nicht wie ich mit diesen Eigenschaften und dem gegebenen Ring beweise, dass der Ring ein Körper ist.

Comments

Was unterscheidet denn einen Ring von einem Körper?

---

Naja, beide sind kommutativ und haben Neutralelement 0, und für beide gilt das Distributivgesetz. Unterscheiden tun sie sich darin, dass ein Ring eine algebraische Struktur mit Neutralelement 1 ist, während ein Körper eine Kommutative Gruppe mit Neutralelement 1 ist.

Ich sehe da aber nicht den großen zusammenhang der mir hilft zu sagen ob ℤ₅ ein Körper ist..

Answer 1

Das was du geschrieben hast ist nicht richtig ausformuliert. Der große Zusammenhang liegt darin zu lernen wie sich die Strukturen abgrenzen.

Jeder Körper ist ein kommutativer Ring mit Eins. Für ihn gilt zusätzlich, dass es zu jedem Element außer dem Nullelement ein inverses Element bezüglich der Multiplikation gibt. In deinem Fall lässt sich diese Eigenschaft ja schnell durch eine Auflistung nachweisen.

Falls du also bereits weißt, dass es sich um einen kommutativen Ring mit Eins handelt bist du danach fertig.

Gruß

Comments

Meinst du mit Auflistung eine Verknüpfungstafel der Multiplikation? Also soll ich nur diese ausführen, und diese bestätigt dann dass (ℤ₅, +, *) ein Körper ist?

---

Nein, das ist unnötig. Du brauchst nur zu den Elementen 1,2,3 und 4 die inversen Elemente bezüglich der Multiplikation anzugeben.