Bestimmung von Punkten. Logarithmus. f(x)=1/4e^x-2e^{1/2 x}+3

Question

f(x)=1/4e^x-2e^{1/2 x}+3 

g(x)=-3/4x+5/4

Die Gerade mit der Gleichung x=u schneidet das Schaubild von f in P und das Schaubild von f in A.

Bestimmen sie 0<u<2,9 so, dass der Abstand der Punkte P und Q möglichst groß ist.

Kann das jemand bitte mit Lösungsweg erklären?

Wäre super nett :)

EDIT(Lu): Exponent von f korrigiert gemäss Kommentar. 

Comments

f(x)=1/4e^x-2e¹/2x+3 

Soll es vielleicht

f(x)=1/4e^x - 2e^{1/2x} + 3    heißen ???

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Ja genau sorry-.-

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Hier schon einmal die beiden Funktionen

x = u würde eine Senkrechte bedeuten.

Gesucht ist also der maximale Abstand zwischen den Funktionen

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[ g ( x ) - f ( x ) ] ´ = 0

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Ich muß nocheinmal nachfragen. heißt es

f(x)=1/4 * e^x - 2 * e^{1/2x} + 3    Exponent 1/2 * x
oder
f(x)=1/4 * e^x - 2 * e^{1/[2x]} + 3    Exponent 1/(2x)

Bin jetzt allerdings fernsehschauen.

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Das erste exponent 1/2*x

Answer 1

Die Abstandsfunktion wäre die rote Kurve minus der blauen Kurve.
( bei den Kommentaren )

 

Es ergibt sich die
- blaue Kurve : Abstandsfunktion
- rote Kurve : 1.Ableitung der Abstandsfunktion

Bei x = 0 ist ein Extremwert : Minimum vorhanden
bei x = 2.2 ein Maximum

der 2.Extremwert für a´ dürfte sich wahrscheinlich nur über
das Newton-Verfahren genauer berechnen lassen.

Comments

Die Gleichung -1/4*e^x  + e ^(1/2)*x    -3/4   = 0

kannst du auch mit Substitution lösen:   z = e ^(1/2)*x   also z^2 = e^x und so:

-1/4 z^2 + z -3/4 = 0

gibt z=3 oder z=1

also  
e ^(1/2)*x = 3   oder   ^{e (1/2)*x} = 1

x = 2*ln(3) oder x=0

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Schönen Dank mathef,

über eine Substituition habe ich lange nachgedacht aber mir ist
nichts eingefallen.

Bei einem Fall e^{2x} + e^x wäre  es mir klar gewesen.