Question

Eine Urne enthalte zu Beginn N Kugeln wovon K weiß und die restlichen N − K schwarz sind. Für festes m ∈ Z mit m ≥ −1 wird bei jeder Ziehung eine Kugel entnommen und anschließend m+1 Kugeln gleicher Farbe der Urne zugefügt. Insgesamt betrachten wir n ∈ N Ziehungen als Zufallsexperiment auf dem Grundraum Ω = {W, S}n. Die Zufallsvariable Xn : Ω → {0, . . . , n} gebe die Anzahl der gezogenen weißen Kugeln an. 

a) Zeigen Sie, dass für ω = (ω1,...,ωn) ∈ Ω durch 

$${ p }_{ w }^{ (n) }=\frac { \prod _{ i=o }^{ { x }_{ n }(w)-1 }{ (K+im)\prod _{ j=0 }^{ n-{ x }_{ n }(w)-1 }{ (N-K+jm) }  }  }{ \prod _{ l=0 }^{ n-1 }{ (N+lm) }  } $$

die Zähldichte der diskreten Verteilung gegeben ist. Dabei ist Prokt von i=0 bis -1als leeres Produkt gleich 1 zu setzen.

Hinweis: Vollständige Induktion über n ∈ N. 

b)Bestimmen Sie die Verteilung PXn der Zufallsvariable Xn durch Angabe der Zähldichte. 

c)Vereinfachen Sie die Zähldichte der Verteilung PXn in den folgenden Spezialfällen:

m=-1 : Ziehung ohne Zurücklegen

m=0 :Ziehung mit Zurücklegen

m=1 :Pólyas Modell zur Ausbreitung ansteckender Krankheiten

 

Answer 1

Sitze auch schon was länger an dieser Aufgabe. Einiges ist unklar...

Bisher glaube ich, dass die formel zu folgendem abgekürzt werden kann

$$ p_{w}  ^{n} =  \prod_{i=0}^{n-1}{\frac { K+i*m }{ N+i*m }} $$

Es erscheint mir, dass die Anzahl der gezogenen weissen Kugeln der Anzahl der Ziehungen entspricht. Passt auch zu der Angabe über das leere Produkt.

a)

Jetzt die große Frage wie man auf diesem DIng eine Induktion durchführen soll. Haben ja keine Formel der man diesen Ausdruck gleich setzt für eine Induktion. Wäre m = 0 oder -1, so liesse sich was basteln aber ich kriege keine allgemeine Form hin.

b) Einfach keine Ahnung.

c)
Legt man keine Kugeln nach so hat man K/N für die erste weisse Kugel, K-1/N-1 für die zweite also

$$ p_{w}  ^{n} =\prod_{i=0}^{n-1}{\frac{K-i}{N-i}} $$

Legt man die gezogene zurück so bleibt die W. eine weisse zu ziehen immer gleich

$$ p_{w}  ^{n} =\prod_{i=0}^{n-1}{\frac{K}{N}} $$

Für m=1

$$ p_{w}  ^{n} =\frac{K}{N}*\prod_{i=1}^{n-1}{\frac{K+i}{N+i}} $$

Habe im letzte fall es nicht geschafft die Formel so aufzustellen, dass es mit dem aller ersten Ziehen mit K/N geklappt hat.

Was sagt ihr dazu?