(Z,+,*) Distributivgesetz zeigen

Question

Wie zeigt man das?

Answer 1

Na das ist ein Haufen Schreibarbeit. Seien also x,y,z aus Z = ( NxN ) /  ~

etwa x = [(n_x m_x )} _~ also die Klasse, die u.a. das Paar   (n_x ,m_x ) enthält.

entsprechend   y = [(n_y , m_y )} _~  und   z = [(n_z , m_z )} _~ a  .

Dann ist nach Def. der Addition   y+z  die Klasse  [(n_y +n_z  ,  m_y + m_z )} _~ 

Also ist x*(y+z) gem Def. der Mult. die Klasse

 [  (n_x * ( n_y +n_z  ) +  m_x * ( m_y +m_z  )  ,    n_x  * ( m_y +m_z  )  +  m_x * ( n_y +n_z  )   ]  _~ 

So, wenn das Dist. Gesetz stimmt, müsste das die gleiche Klasse sein,

wie sie bei x*y + x*z entsteht und das wäre die Klasse von x*y

 =  [(n_x *n_y  + m_x * m_y , n_x * m_y + n_y* m_x   )} _~   

plus die Klasse von x*z

=    [(n_x *n_z  + m_x * m_z , n_x * m_z + n_z* m_x   )} _~   

Und diese beiden Klassen muss man jetzt nach der def von + addieren,

das gäbe

  [(n_x *n_y  + m_x * m_y + n_x *n_z  + m_x * m_z , n_x * m_y + n_y* m_x  + n_x * m_z + n_z* m_x     )} _~   

und weil in den Komponenten ja mit nat. Zahlen gerechnet wird,

für die z.B. das Ass.gesetz gilt, braucht man keine zusätzlichen Klammern.

Nun bleibt zu zeigen, dass die Klassen, die auf beiden Seiten als Ergebnis entstanden sind,

auch wirklich gleich sind, also

 [  (n_x * ( n_y +n_z  ) +  m_x * ( m_y +m_z  )  ,    n_x  * ( m_y +m_z  )  +  m_x * ( n_y +n_z  )   ]  _~ 

=   [(n_x *n_y  + m_x * m_y + n_x *n_z  + m_x * m_z ,  n_x * m_y + n_y* m_x  + n_x * m_z + n_z* m_x     )} _~   

Da die Komponenten nat. Zahlen sind, bei denen das Dist.ges. gilt, kann man umschreiben zu

 [  (n_x * n_y + n_x *n_z  +  m_x *  m_y + m_x *m_z   ,    n_x  * m_y + n_x  * m_z    +  m_x *  n_y +  m_x * n_z  )   ]  _~ 

=   [(n_x *n_y  + m_x * m_y + n_x *n_z  + m_x * m_z ,  n_x * m_y + n_y* m_x  + n_x * m_z + n_z* m_x     )} _~  

Um nun zu zeigen, dass diese Klassen gleich sind, muss gprüft werden, ob die die Klassen
repräsentierenden Paare in der ~ stehen.  Hier haben sich gleiche Paare ergebnen und
weil ~ eine reflexive Rel. ist stimmt das also.

War viel Schreiberei aber sicherlich für jemanden der intensiv Mathematik machen will
mal wichtig an einem Beispiel zu sehen, dass die Konstruktionsmethode
 neue Objekte durch Klassenbildung zu erzeugen wirklich zielführend ist.