Verstehe den Beweis zum Distributivgesetz nicht. Zeigen Sie lambda * (a+b) = lambda * a + lambda * b

Question

Aufgabe 1.1 Es seien \( a=\left(a_{1}, a_{2}\right), b=\left(b_{1}, b_{2}\right) \) und \( c=\left(c_{1}, c_{2}\right) \)
$$ \begin{aligned} \text { 1. } \lambda \cdot(a+b) &=\lambda \cdot\left(\left(a_{1}, a_{2}\right)+\left(b_{1}, b_{2}\right)\right) \\ &=\lambda \cdot\left(a_{1}+b_{1}, a_{2}+b_{2}\right) \\ &=\left(\lambda \cdot\left(a_{1}+b_{1}\right), \lambda\left(a_{2}+b_{2}\right)\right) \\ &=\left(\lambda a_{1}+\lambda b_{1}, \lambda a_{2}+\lambda b_{2}\right) \\ &=\left(\lambda a_{1}+\lambda b_{2}\right)+\left(\lambda b_{1}, \lambda b_{2}\right) \\ &=\lambda\left(a_{1}, a_{2}\right)+\lambda\left(b_{1}, d_{2}\right) \\ &=\lambda \cdot a+\lambda \cdot b \end{aligned} $$

Dies ist die Lösung zu der Aufgabe, zeigen sie lambda * (a+b) = lambda a + lambda b

Ich verstehe die Schritte nicht. Sie sehen für mich logisch aus, aber wieso diese Schritte, wieso diese Reihenfolge. Könnte mir jemand einen mathematischen Beweis oder die Beweisführung nochmals erklären -?

Answer 1

> Sie sehen für mich logisch aus

Prüfe ob sie tatsächlich auch logisch sind. Das heißt, gib zu jedem Schritt an, aufgrund welches Axioms, Gesetzes oder Definition der Schritt durchgeführt werden darf. Wenn du das geschafft hast, dann sind die Schritte tatsächlich logisch, und sehen nicht nur so aus.

Beispiele.

• In dem Umformungsschritt λ·(a+b) = λ·( (a₁ , a₂) + (b₁, b₂) ) wurde a durch (a₁ , a₂) und b durch (b₁, b₂) ersetzt. Das darf gemacht werden, weil a und b in der Aufgabenstellung so definiert wurden.
• In dem Umformungsschritt λ·( (a₁ , a₂) + (b₁, b₂) ) = λ·(a₁ + b₁, a₂ + b₂) wurde (a₁ , a₂) + (b₁, b₂) durch (a₁ + b₁, a₂ + b₂) ersetzt. Das darf gemacht werden, weil die Addition (a₁ , a₂) + (b₁, b₂) so definiert wurde (Wo war das noch mal?).
  

> aber wieso diese Schritte, wieso diese Reihenfolge

Weil das zum Erfolg führt.

Comments

Wo wurde die Addition so definiert. 

Zu der Reihenfolge. Wieso muss ich für jedes einzelne Element eines Vektors sie Skalarmultiplikation definieren .

Es ist der Sinn des Beweises jedes Element so grundlegend darzustellen? 

Dass das Skalarprodukt a1 und a2 mit dem Skalar multipliziert ist doch selbstverständlich? ( Vektor b analog )

Könnte man dann nicht einfach von Abschnitt 2 zu Abschnitt 5 springen ?

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> Wo wurde die Addition so definiert.

In deinen Unterlagen (Vorlesungsmitschrift, Bücher, ältere Übungsaufgaben, etc).

Wo das in deinem Fall genau ist, weiß ich nicht, weil ich deine Unterlagen nicht kenne.

> Wieso muss ich für jedes einzelne Element eines Vektors sie Skalarmultiplikation definieren

Du musst überhaupt nichts definieren. Die Definitionen sind dir durch deine Unterlagen vorgegeben. Definitionen sind erst ein mal beliebig. Man hätte zum Beispiel auch definieren können, dass λ·(a₁ , a₂) := (a₁+λ, a₂+λ) ist. Das wurde aber so nicht gemacht, weil dann das Distributivgesetz nicht gilt. Und dass das Distributivgesetz bei der dir vorliegenden Definition gilt, ist die Aufgabe.

> Es ist der Sinn des Beweises jedes Element so grundlegend darzustellen?

Es ist Sinn des Beweises, zu zeigen, dass λ · (a+b) = λ·a + λ·b für jedes λ, a und b ist.

Der Weg, der dazu gegangen wird, ist, die Berechnungen mit Paaren auf Berechnungen mit Zahlen zurückzuführen, dort die bekannten Gesetzmäßigkeiten anzuwenden und das Ergebnis dann wieder mittels Berechnungen mit Paaren darzustellen.

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  (λa1+λb1,λa2+λb2)
=(λa1+λb2)+(λb1,λb2)
=λ(a1,a2)+λ(b1,d2)

Die Frage ist zwar drei Jahre alt, aber ich versuche mein Glück trotzdem: Diese zwei Punkte sind für mich nicht nachvollziehbar.

Bzgl ersten Gleichzeichen: Wie kann  (λa1+λb1,λa2+λb2) = (λa1+λb2)+(λb1,λb2) korrekt sein? 1) Fällt plötzlich a2 weg und 2) wäre das doch eine Addition mit einem Skalar, was ja nicht definiert ist? (λa1+λb2) ist ja kein Vektor. Oder verstehe ich das komplett falsch?

Bzgl zweites Gleichzeichen: =λ(a1,a2)+λ(b1,d2) Wo kommt das d her?

Answer 2

Hallo :-)

1. Gleichheitszeichen: Ersetzen von a durch (a_(1), a_(2)) und von b durch (b_(1), b_(2)).
2. Gleichheitszeichen: Komponentenweise Addition der Vektoren a und b.
3. Gleichheitszeichen: Komponentenweise Multiplikation der Vektorsumme mit dem Skalar λ.
4. Gleichheitszeichen: Distributivgesetz im Körper R.
5. Gleichheitszeichen: Aufteilen der Vektorsumme in Summanden.
6. Gleichheitszeichen: Skalarmultiplikation rückwarts, bzw. Ausklammern von λ.
7. Gleichheitszeichen: Ersetzen von (a_(1), a_(2)) durch a und von (b_(1), b_(2)) durch b.

Beste Grüße
gorgar