Distributivgesetz von Unterräumen beliebiger Vektorräume - Ein Beweis, ich verstehe den Lösungsweg nicht.

Question

Aufgabe:

Sind \(+\) und \(∩\) von Unterräumen zueinander distributiv, das heisst, gelten für alle Unterräume eines beliebigen 
Vektorraumes die folgenden Gleichungen ? $$\begin{aligned} U \cap\left(V_{1}+V_{2}\right) &=\left(U \cap V_{1}\right)+\left(U \cap V_{2}\right) \\ U+\left(V_{1} \cap V_{2}\right) &=\left(U+V_{1}\right) \cap\left(U+V_{2}\right) \end{aligned}$$

Falls nicht, gilt zumindest eine Inklusion ? 


Problem/Ansatz:

Ich habe schon mal mengentheoretische Beweise gemacht aber dieser hier fällt mir besonderst schwer. 



Vorgehen anhand des Lösungswegs der immer noch Fragen aufwirft. 

Ich betrachte die erste Gleichung. 

Ganz generell kann ich sagen dass: 
V1 ⊂ (V1 + V2)
V2 ⊂ (V1 + V2)

• Frage (1): Für mich ist obiges nur klar wenn ich das mit den Venndiagrammen zeichne. Wie kann ich es sonst beschreiben, also ohne Venn-Diagramm. 

Weiter sagt der Lösungsweg, dass weil obiges gilt, auch folgendes gelten muss: 
U ∩ V1 ⊂ U ∩ (V1 + V2) (1)
U ∩ V2 ⊂ U ∩ (V1 + V2) (2) 

• Frage (2): Es macht Sinn für mich wenn ich an die Kürzungsregel denke a + b = a + c ⇒ b = c. Mit Venndiagramm habe ich Schwierigkeiten hier weil U überall liegen kann. Wobei ich sehe egal wo ich U im Venndiagramm  einzeichne, es stimmt immer. 

• Frage (3): Wieso ist  U ∩ (V1 + V2) ein Unterraum ? Ich weiss was die kriterien für einen Unterraum sind. Der Nullvektor ist in U ∩ (V1 + V2) enthalten, U ∩ (V1 + V2) ist bezüglich addition und multiplikation abgeschlossen. 

Weiter sagt die Lösung, dass wie oben bereits (1) und (2) gilt, 
und folglich auch gelten muss dass: 
(U ∩ V1) + (U ∩ V2) ⊂ U ∩ (V1 + V2)

Frage (4): Ich sehe, dass ist eine Addition von (1) und (2) und streng genommen müsste dann das stehen:
(U ∩ V1) + (U ∩ V2) ⊂ (U ∩ (V1 + V2)) + (U ∩ (V1 + V2))
=  (U ∩ V1) + (U ∩ V2) ⊂ 2(U ∩ (V1 + V2).
Wieso ist das nicht so ? 


Kann mir jemand helfen ? 

Weiter behandelt der Lösungsweg dann die Zweite Gleichung und
sagt zum Schluss, dass die Umgekehrte Inklusion im Allgemeinen 
falsch ist.

Answer 1

Frage 1: Wie kann ich es sonst beschreiben, also ohne Venn-Diagramm.

V1 ⊂ (V1 + V2)
Etwa so: Sei v ∈ V1.  Wegen 0 ∈ V2 (Jeder VR enthält den 0-Vektor !)

gilt   v+0 ∈ V1+ V2 , also    v ∈ V1+ V2 .

Frage 2:

U ∩ V1 ⊂ U ∩ (V1 + V2)

Es gilt allgemein für alle Mengen A ⊂ B ==>  U ∩ A ⊂ U ∩ B.

Beweis: Gelte A ⊂ B  und sei x ∈  U ∩ A

==> x ∈  U  ∧  x ∈  A

Wegen  A ⊂ B  also auch

     x ∈  U  ∧  x ∈  A

==>  x ∈  U ∩ B.

Zu Frage 2 also:  Mit V1=A und V1+v2=B

durch Frage 1 erledigt.

Frage (3): Wieso ist  U ∩ (V1 + V2) ein Unterraum ?

Der Durchschnitt zweier Unterräume ist immer ein Unterraum.

Generell: Es scheint, dass du dir die Def. der Summe von Untervektorräumen

noch mal ganz klar machen musst:   U1+U2 besteht aus allen

Vektoren v, für die es je ein x∈U1 und ein y∈U2 gibt mit  v = x+y .