Das Infimum von A vereinigt B ist die größte untere Schranke der Vereinigung von A und B. Ich würde da so argumentieren, dass im Fall, dass inf(A)<inf(B) ist, es Werte in A und somit auch der Vereinigung gibt, die kleiner als inf(B) sind. Wäre dem nicht so, wäre inf(A)=inf(B). inf(B) ist also keine untere Schranke von A und somit keine u.S. der Vereinigung von A und B. inf(A) hingegen ist untere Schranke sowohl von A als auch von B, denn gäbe es einen Wert x in B, der kleiner ist als inf(A), dann müsste inf(B)<=x<=inf(A) gelten, was aber im Widerspruch zu inf(A)<inf(B) steht.
Sind beide Infima gleich, so sind beide auch gleichzeitig Infima der Vereinigung, da für alle Werte x in A und alle Werte y in B gilt, dass x<=inf(A) und y<=inf(B), da aber inf(A)=inf(B) sind beide auch Infima der Vereinigung.
inf(A)>inf(B): Analog zu Fall 1.
Das kann dann zum Minimum umgeschrieben werden.
Edit: Dass inf(A) bzw. inf(B) auch die jeweils größte untere Schranke ist, kann man ähnlich beweisen, da ja alle Elemente von A in der Vereinigung enthalten sind. Da aber inf(A) als größte untere Schranke die Eigenschaft hat, dass es für alle epsilon>0 ein x aus A bzw. y aus B gibt, sodass inf(A)+epsilon>x bzw. inf(B)+epsilon>y gilt, gibt es dasselbe x bzw. y auch in der Vereinigung, sodass $$\mathrm{inf}(A)+\varepsilon>x$$ bzw. $$\mathrm{inf}(B)+\varepsilon>y$$ gilt.
