Betragsungleichung abs(x+3)/abs(x+2) > 1 (Lösungsmenge finden)

Question

abs(x+3)/abs(x+2) > 1 

https://www.wolframalpha.com/input/?i=abs%28x%2B3%29%2Fabs%28x%2B2%29+%3E+1

Ich habe gerade große Schwierigkeiten die Aufgabe zu Ende zu führen.

Ich weiß nicht, worauf ich achten und wie ich vorgehen muss, um die korrekte Lösungsmenge zu erhalten ubd anzugeben.

Ich weiß nicht, wie ich die verschieden dargestellten Fälle und die Ergebnisse meiner Falluntersuchung in die Lösung miteinbeziehen muss, wie es zum Beispiel hier bei einder anderen Aufgabe am Ende im Detail dargestellt ist:

http://www.free-education-resources.com/www.mathematik.net//betrags-ungleichungen/bu3s13.htm

Ich wäre euch sehr verbunden, wenn ihr mir im Detail (wie beim Link) darstellen könntet, welche Schritte ich nun durchgehen muss, damit ich zur korrekten, perfekt dargestellten Lösungsmenge komme.

(Fehler sind nicht ausgeschlossen)

Comments

warum kommt bei Dir ein Minus vor den Nenner oder Zähler, wenn die Summe (x+y) negativ ist. Im 2. Fall hat das keine Auswirkungen, da sich das gegenseitig wieder aufhebt. Beim 3. Fall führt es zu einem Fehler. Wenn Du das weglässt (lediglich für die Multiplikation mit (x+y) musst Du das beim Ungleichheitszeichen beachten) kommt 3 < 2 heraus.

Gruß

---

Ich war zu langsam mit dem Edit.

Das hat in den Fällen 2 und 3 Auswirkungen.

Das Minus ist schon richtig, aber Du multipliziert, dann mit etwas positivem. Daher darf sich das Ungleichheitszeichen dann nicht drehen.

Laut Plot müsste ja am Ende etwas mit x>-2,5 herauskommen.

---

Bei Fall 2. entsteht ein Widerspruch und bei Fall 3. kommt x>-2,5 heraus. Damit kannst Du die Lösungsmenge angeben.
Alternativ natürlich auch die Lösung von Yakyu.

---

Hallo snoop24!

1) "warum kommt bei Dir ein Minus vor den Nenner oder Zähler, wenn die Summe (x+y) negativ ist."

Was meinst du damit? Mit dem Minus muss ich doch speziell für den Fall deklarieren, dass die Summe negativ sein wird, oder nicht?

2) "Das Minus ist schon richtig, aber Du multipliziert, dann mit etwas positivem. Daher darf sich das Ungleichheitszeichen dann nicht drehen. "

Warum multipliziere ich mit etwas Positivem, obwohl der Term mit dem ich multipliziere den Faktor "-1" aufweist?

Ich freue mich auf deine Antwort!

---

Hallo piknockyou

zu 1)

Also in meinem ersten Kommentar habe ich das noch falsch geschrieben. Für die Fallunterscheidung musst Du da jeweil dann ein Minus davor setzen, wenn Du die Betragstriche weglässt und der Inhalt negativ ist, damit das Resultat sich nich verändert. Ich war nur zu langsam mit dem EDIT. Das ging nicht mehr.

zu 2)

Der Term mit dem Du multiplizierst weist zwar den Faktor -1 auf, aber (-1)*(-5) weist denselben Faktor auf ist aber dennoch positiv.

Du sagst für II. Fall ja explixit, dass x+2 < 0. Du multiplizierst aber mit (-1)(x+2). Aber -(x+2)>0, daher dreht sich das Ungleichheitszeichen nicht.

Gruß

Answer 1

dir ist anscheinend schon klar, dass \(x \neq -2\) als Voraussetzung zu setzen ist.

Hier mit einer Fallunterscheidung zu arbeiten ist sehr umständlich im Vergleich zu dieser Alternative:

Quadriere beide Seiten der Ungleichung (dies ist hier in Ordnung, da auf beiden Seiten positive Zahlen stehen und der Betrag nie negativ sein kann) und löse dann die Ungleichung nach \(x\) auf.

Diese Alternative ist nicht immer der Fallunterscheidung vorzuziehen.

In diesem Fall kommst du sehr schnell auf die Lösungsmenge: \(\mathbb{L} = \{ x \in \mathbb{R} \setminus \{-2\}|  x > -\frac{5}{2} \} = \left( -\frac{5}{2}, -2 \right) \cup (-2, \infty)\).

Gruß

Comments

Danke Yakyu!

Ich verstehe, was du sagst.

Nichtsdestotrotz würde ich es wirklich gerne sehen, wie ich meinen Weg korrekt zu Ende führen muss.

Ich wäre dir sehr verbunden!

---

Ok gut dann zu deiner Fallunterscheidung:

Fall 1: Die Ungleichung gilt somit  für alle \(x > - 2\). D.h \( \mathbb{L}_1 = (-2, \infty) \).

Fall 2: Hier hast du einen Fehler gemacht. Nach Voraussetzung ist \(-(x+2)\) eine positive Zahl, das bedeutet beim Multiplizieren dreht sich das Ungleichheitszeichen nicht um. Somit hättest du am Ende den Widerspruch \(-3 >-2\) was bedeutet, dass die Ungleichung nicht gilt für \( x < -3 \). Insbesondere \( \mathbb{L}_2 = \emptyset \)

Fall 3: Selber Fehler wie in Fall 2. Am Ende müsstest du eigentlich \( x > -\frac{5}{2} \) haben. Diese Bedingung ergibt zusammen mit der Voraussetzung \( -3 < x < -2 \) also, dass die Ungleichung gilt für \( -\frac{5}{2} < x < -2\) und somit \( \mathbb{L}_3 = \left( -\frac{5}{2} , -2 \right) \).

Die gesamte Lösungsmenge der Ungleichung ist die Vereinigung der Lösungsmengen aus den einzelnen Fällen \( \mathbb{L} = \mathbb{L}_1 \cup \mathbb{L}_2 \cup \mathbb{L}_3\) und stimmt mit der aus meiner Antwort überein.

---

Ich bin dir sehr dankbar Yakyu!Frage:Wie vereinige ich die beiden Lösungsmengen von Fall 1 und 3 ordnungsgemäß?

---

Kein Problem :). So wie es oben in meiner Antwort steht. Da sie keine gemeinsamen Elemente haben, sich also nicht überschneiden, gibt es keine kürzere Darstellung (in Intervallschreibweise).

Answer 2

Hallo piknockyou,

da du Schwierigkeiten mit den Fallunterscheidungen und der
Lösungsmenge hast stelle ich meine Vorgehensweise
einmal ein. Diese Vorgehensweise funktioniert eigentlich
immer und ist mein Standardverfahren.

Wichtig ist die Skizze mit dem Zahlenstrahl.

Zuerst werden die Nullstellen in den Beträgen ermittelt.
Diese werden auf einem Zahlenstrahl markiert.
Der Zahlenstrahl wird dadurch in 3 Bereiche unterteilt
die dann getrennt untersucht werden.

Ist die Lösung für einen Fall ermittelt wird auch die Ausgangsvoraussetzung
miteinbezogen wie bei Fall 3.

Dann trage ich alle Lösungen wieder mit einem Zahlenstrahl als Bereiche
ein.

Alle schraffierten Bereiche gehören zur Lösungsmenge. Hier
x > -2.5 \ { -2 }

Alles oberhalb der roten Linie erfüllt die Ungleichung.

~plot~ abs(x+3) / abs(x+2) ; 1 ~plot~

Comments

georgborn, ich bin dir sehr dankbar für deine ausführliche und mühevolle Beschreibung!

Wünsche dir einen guten Abend!

---

Gern geschehen.

Anmerkung : ich bin auch zu meinem eigenen Nutzung hier
im Forum. Ich bin schon 62 Jahre und möchte mich mit
dem Gehirnjogging fit halten.

Die einen lösen Kreuzworträtsel, ich bin beschäftige mich
mit Mathematik.

Answer 3

Hier ein völlig anderer Weg, der
auch garantiert nichts mit der eigentlichen Frage
zu tun hat, dafür aber durch seine Kürze etwas
mehr Charme bietet als alternative Rechenwege:

abs(x+3) / abs(x+2) > 1
⇔
abs(x+3) > abs(x+2)   und   x ≠ 2
⇔
In Worten: Der Abstand der Zahlen x ≠ 2 von der Zahl (-3) auf
der Zahlengeraden ist größer als ihr Abstand von der Zahl (-2).
⇔
-2.5 < x   und   x ≠ 2.