Betragsungleichung. abs( x+3) >= abs(2x+1). Allgemeine Frage und Bitte um Korrektur falls nötig.

Question

eine allgemeine Frage und dann noch eine korrektur fals nötig bitte ( betrag , ungleichung)

abs( x+3) >= abs(2x+1)

fall 1 -unterscheidung

x>=-3, x>=-1/2

(sind das werte die genutz werden dürfen oder nicht?)

-Rechnung

x<=-2

ich denke dann also es muss L1= [-1/2 , 2] sein.

fall2 - unterscheidung

x>=-3 , x<1/2

(sind das werte die genutz werden dürfen oder nicht?)

-Rechnung

x >= -4/3

also müsste L2 = [-4/3 , 1/2) sein?

fall 3 -unterscheidung

x < -3 , x < 1/2

(sind das werte die genutz werden dürfen oder nicht?)

- Rechnung

x >= -4

also L3 = (-3,1/2) ?

fall 4 - untesrcheidung

x<-3 , x>= -1/2

(sind das werte die genutz werden dürfen oder nicht?)

_Rechnung

x<= -4/3

also L4= (-unendlich , -3? -4/3? )

dann müsste ich  ja noch machen

L gesamt= L1 u L2 u L3 u L4 = L1= [-1/2 , 2] u L2 = [-4/3 , 1/2) u L3 = (-3,1/2) u L4= (-unendlich , -3? -4/3? ) =

Jetzt zur meiner allgemeinen Frage

kann mir bitte einer kurzgliedern (reicht auch nur stichpunkt artig) wie man bei solchen aufgaben durch geht und schreiben was die einzelnen schritte aussagen?

Wie man eigentlich sehen kann habe ich keine probleme mit dem ausrechnen, was mir aber etwas schwer fällt ist mit den lösungsmengen und deff bereich zu erkennen.

Vielen Dank für dich große Hilfe ;)

Immai

Comments

abs( x+3) >= abs(2x+1)
entspricht
( x + 3)^2 >= ( 2x +1 )^2

x^2 + 6x + 9 >= 4x^2 + 4x + 1
3x^2 - 2x ≤  8
x^2 - 2/3 x ≤ 8/3
x^2 - 2/3 x + (1/3)^2 ≤ 8/3 + 1/9
( x - 1/3 )^2 ≤ 25/9
-5/3 ≤ x - 1/3 ≤ 5/3
-4/3 ≤ x ≤ 2

---

warum quadrat? ist das immer so?

---

abs( 4 ) = abs (-4 )
( 4 ) ^2 = ( -4 )^2
16 = 16

Ich habe das Quadrieren genutzt um das
abs () wegzubringen. Das geht aber zu Beispiel nicht bei
abs( x+3) + 5 >= abs(2x+1)
Dann habe ich immer noch 1 abs () .

Ich habe mir deine Lösung nicht angeschaut.
Ich hoffe dieser Lösungsweg nutzt dir etwas.

Tip : trage die Lösungsmengen auf einem Zahlenstrahl auf

Ansonsten wieder nachfragen.

Answer 1

Hi immai,

Du hast hier nur drei Fallunterscheidungen. Deine doppelten x-Angaben ergeben bei mir nicht so viel Sinn.

Überlege Dir, für welche x-Werte sind beide Beträge positiv (oder 0)? Für x ≥ -1/2. Wann beide Seiten negativ? Für x ≤ -3. Wann ist nur je eine Seite entweder positiv oder negativ? Das Intervall zwischen drin.

Das muss nun untersucht werden. Die Teillösungsmenge muss dabei an die Bedinung angeglichen werden, also welche x gelten gerade. Dann alle Teillösungsmengen zusammengefasst werden.

Strukturiert würde ich das so angehen:

|x+3| ≥ |2x+1|

1. Fall x ≥ -1/2 --> Alles positiv und deshalb Beträge weglassen

x + 3 ≥ 2x + 1   |-x-1

x ≤ 2

Mit der Anfangsbedingung ergibt sich L_(1): -1/2 ≤ x ≤ 2.

2. Fall (hier ziehe ich den "immer-negativ" vor, da einfacher^^)

x ≤ -3 --> Alles negativ, deshalb einfach die Vorzeichen umdrehen.

-(x+3) ≥ -(2x+1)     |:(-1) (Umdrehen des Zeichens)

x + 3 ≤ 2x + 1

x ≥ 2

Das geht nicht. Denn x soll zum einen kleiner -3 sein, aber gleichzeitig größer 2. Also ist diese Menge leer.

3. Fall. Wir sind im Intervall zwischen den obigen Fällen. Hier ist nur der rechte Teil negativ. Klammern!

Für x -> -3 < x < -1/2

x + 3 ≥ -(2x + 1)

x+3 ≥ -2x - 1

3x ≥ -4

x ≥ -4/3

Wieder mit der Anfangsbedinung ergibt sich  L_(3): -4/3 ≤ x < -1/2

Nun alle Lösungsmengen zusammengefasst -> L: -4/3 ≤ x ≤ 2

Alles klar?

Grüße

Comments

Danke Sehr

ich bin nochmal alles durchgegangen.

verstehe es jetzt beser ich sollte aber lieber mal üben^^ um sicherzugehen ob ich es auch verstanden habe.

Answer 2

Bei |A(x)| ≥ |B(x)|  - wenn also beide Seiten in einem |..| stehen -, geht das erst einmal immer, weil beide Seiten der Ungleichung nicht negativ sind und das Quadrieren deshalb eine Äquivalenzumformung ist.

Allgemeiner:

Man teilt den Zahlenstrahl durch die Nullstellen der Terme im Betrag in Teilintervalle ein:

]  - ∞ ; -3 ] , [ -3 ; -1/2 ] , [ -1/2 ; ∞ [

Die Vorzeichen der Terme sind in der Reihenfolge der Intervalle:

x+3:    -, +, +

2x+1:  - , -, +

Damit kannst du die Gleichung für jedes Intervall betragsfrei schreiben:

erstes Intervall:

-(x+3) ≥ - (2x +1)

x + 3 ≤ 2x + 1

2 ≤ x   -> L₁ = { } 

zweites Intervall:

x + 3 ≥  -2x - 1 

3x ≥ -4

x ≥ -4/3   -> L₂ = [ -4/3 ; -1/2]

drittes Intervall:

x+3 ≥ 2x+1

2 ≥ x -> L₃ = [ -1/2 ; 2 ]

Die Vereinigung der Teillösungsmengen ergibt L = [ -4/3 ; 2]

Comments

Danke Sehr das hat mir auch sehr geholfen.

werde es das hier auch nochmals üben.