Bijektivität für n mod k

Question

ich muss für eine Aufgabe zeigen, ob die Funktion

f: ℤ→ℤ, n mod k ↦ (n+1) mod k mit beliebigem k aus ℕ

bijektiv ist.

Mir fehlt leider der Ansatz, wie ich hier Injektivität und Surjektivität zeigen soll. Für jede Hilfe wäre ich dankbar.

Comments

Die Funktion ist nicht wohldefiniert.

Es ist 3 mod 1 = 3 und (3+1) mod 1 = 4, was zu f(3) = 4 führt.

Es ist 7 mod 4 = 3 und (7+1) mod 4 = 0, was zu f(3) = 0 führt.

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Oder soll das k fest bleiben? Dann ist die Funktion nicht wohldefiniert, weil f(k+1) nicht definiert ist.

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Ist das vielleicht eine Funktion , die nicht

so f: ℤ→ℤ    sondern so f: ℤ/k→ℤ/k    definiert ist ???

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f: ℤ/k→ℤ/k ist richtig, ich Depp hab den Index nicht gesehen..

Answer 1

Bei Z/k gibt es doch nur endlich viele Elemente, vertreten durch

0 , 1, 2, ...., k-1

wenn du jetzt deine Abbildung anwendest, erhältst du

1 , 2 ........ k = 0   denn k mod k ist ja 0.

Also entstehen für verschiedene Werte von n auch

verschiedene f(n) , also inj.

Und bei f(n) kommen alle von Z/k vor, also surj.

Comments

Wir haben in der Vorlesung nur injektiv, surjektiv und bijektiv definiert und dann die Aufgaben dafür bekommen, das hatte mich verwirrt. So kann ich das aber nachvollziehen und jetzt auch auf die anderen Aufgaben anwenden. Danke für die Hilfe!