berechnen sie die matrizen

Question

 

                                                                             0  a  b

Gegeben seien a, b, c ∈ R und die Matrix A = 0 0 c . Berechnen Sie die Matrizen A2 und A3. 

                                                                            0 0 0

Welche Eigenschaft hat die Matrix A ?

1. ii)  Geben Sie – mit Begründung – eine Matrix B ∈ Mat2×2(R) an, die weder invertierbar, noch nilpotent ist.

2. iii)  Beweisen Sie: Ist M ∈ Matn×n(R) nilpotent, so ist In − M invertierbar. Hinweis zu iii): Für m ∈ N gilt:

   (In −M)·(In +M+M2 +...+Mm)=In −Mm+1. UeAnaLinInf-6.pdf (32 kb)

Answer 1

Es geht wohl um A^2 und A^3 

A^2 =

0     0     ab
0    0       0
0     0       0

A^3 = Nullmatrix,

also ist A nilpotent.

ii) probier es mal mit

1   1
0    0

iii) Sei M nilpotent, dann ist ja irgendwann M m+1 = 0

und die Gleichung in dem Hinweis sagt dann

( I_n - M ) * (..........) = I_n 

 Also fertig.