Monotonie und Beschränktheit der Folge...Hilfe!

Question

ich muss eine Folge auf Beschränktheit und auf Monotonie untersuchen.

Monotonie: Kein Problem, die Folge ist streng monoton fallend.

Die Beschränktheit bereit mir das Problem.

Die Folge :

Ich habe den Grenzwert der Folge bestimmt:

Dieser lautet (-1/3). Aber das kann dann ja nicht die Schranke von der Folge sein, oder?

Beschränktheit wird ja wie folgt definiert: Ιa_n Ι ≤ M ( Für M>0.) Aber was ist wenn es sich um die untere Schranke handelt? heißt es dann Ιa_n Ι ≤ M M<0 ? Das verstehe ich nicht.

Gibt es auch einen anderen Weg die Beschränktheit zu errechnen? Nicht jede Folge ist konvergent :/

Danke für die Antworten!

Answer 1

Deine Definition ist etwas knapp zitiert: Es heißt garantiert:

Es gibt ein M>0 so dass für alle n aus N gilt | a_n | < M.

Und wenn es etwas geben soll, dann muss einen Wert nennen,

der die Bedingung erfüllt.   Du hast ja schon den Grenzwert -1/3 und

dass die Folge monoton fallend ist. Also ist  - 1/3 eine untere Schranke für die

Folgenglieder.  Und eine obere Schranke ist dann ja a_o = 2 .

Für die BETRÄGE der Folgenglieder ist also 2 (oder wegen des < in der

Definition besser 3 ) eine obere Schranke und nach eurer Definition

musst du also zeigen    | a_n | <  3    für alle n aus N.

|   (2-n) / ( 3n+1) |   <   3     

⇔   |   (2-n) | / | ( 3n+1) |   <   3

⇔   |   (2-n) |  <  3 * | ( 3n+1) |       und für n>2 kannst du die Beträge auslösen

⇔  -2+n   <  3 *  ( 3n+1)

⇔  -2+n   <  9n+3

⇔  -5  <  8n

⇔  -5 / 8   <  n

und das gilt sicher für alle n aus N.   Da oben eine Umformung

gemacht wurde, die nicht für alle n gilt, musst du die Fälle

n≤2 noch extra untersuchen, also zeigen, dass a0  ,  a1  , a2 alle

einen Betrag < 3 haben. Das schreibst du noch dazu und der Beweis ist fertig.