Untersuchen Sie die Folgen auf Monotonie und Beschränktheit. Geben Sie zwei obere bzw. untere Schranken an.

Question

Aufgabe - Monotonie und Beschränktheit:

Untersuchen Sie die Folgen auf Monotonie und Beschränktheit. Geben Sie dabei jeweils zwei obere beziehungsweise zwei untere Schranken an, falls solche existieren.

(a) \( \left(\frac{2 n^{2}+2 n+7}{n^{2}+1}\right)_{n \in \mathbb{N}} \)

(b) \( \left(n \cdot 2^{1-n^{2}}\right)_{n \in \mathbb{N}} \)

(c) \( \left(2+\left(-\frac{1}{4}\right)^{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \)

(d) \( \left(3 \pi n^{2}+2 n \cos (\pi n)\right)_{n \in \mathbb{N}} \)

Answer 1

bei a) sieht man: wenn für n Nat. Zahlen eingesetzt werden, bleibt immer alles positiv, also sind 0 und
damit auch -1 untere Schranken.
wenn man ein paar Gleider ausrechnet, sieht man schnell: Für große Werte von n sind die alle ungefähr bei 2,
also ist es auch nach oben beschränkt etwa durch S=10, denn
(2n^2 + 2n + 7) / ( n^2 + 1)  < 10 führt auf
2n^2 + 2n + 7 < 10n^2 + 10
   0 < 8n^2 - 2n + 3
  0 < n^2 - 2n + 1  + 7n^2 + 2
  0 < ( n-1)^2 + 7n^2 + 2 und das ist sicher wahr für alle n aus IN.
Damit ist 10 und natürlich auch 11 eine obere Schranke

Die Differenz a_n+1 - a_n   gibt auf den Hauptnenner gebracht und ausgerechnet
(-2k^2 - 12k + 3 ) /  ( ( k^2 + 2k + 2)(k^2 + 1) )
und ist für k>=1 offenbar immer negativ, also ist die Folge streng monoton fallend.

so ähnlich kann man das bei den anderen 3 Folgen auch untersuchen.

Comments

a ) HAB ICH auch streng monoton fallend , und untere schranke ist s=2 die obere ist s =7 da die follge streng monoton fallend ist muss a(0) =7 DIE obere schranke seine
b ) ist nicht monoton und die unter schranke ist 0, die obere 1
c ) obere schranke ist 3 untere  schranke ist : 7/4 ist nicht monoton
d) hab ich noch nicht gemacht können sie schauen ob ich es richtig gemacht habe oder es falsch ist
Gruß Thomas

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a ) HAB ICH auch streng monoton fallend , und untere schranke ist s=2 die obere ist s =7 da die follge streng monoton fallend ist muss a(0) =7 DIE obere schranke seine

und eine untere schranke ist s=2 eine obere ist s =7 da

Du solltest aber je zwei angeben !

B) ist nicht monoton

kommt drauf an, ob man mit 0 oder 1 beginnt, wie ist IN bei euch definiert ?

und die xxx eine! xx unter schranke ist 0, diexx eine xxx obere 1

brauchst du keine Nachweise ?

c) ok

d) n=1   gibt 3pi-2

n=2   gibt 12pi +4

n=3   gibt  27pi-6

n=4   gibt 48pi+8

sieht monoton steigend aus, keine ob. Schranke und untere Schranken sind

etwa 1; 0 ; -1 etc.

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ja genau ich soll je zwei angeben

aber kann es zwei obere bzw. zwei untere Schranken geben und wie ist das möglich es muss ja

an<obere schranke   d.h im ersten fall währe a(n)<7 kann ich dann auch schreiben a(n)<10 und da habe ich 2 obere Schranken ist ja aber irgendwie unlogisch ???

Gruß Thomas

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Nö, es heißt ja immer .... ist EINE obere Schranke, dann ist jede größere Zahl

natürlich auch eine. Klassischer Anwendungsfall:

Gehören Sie zu den Menschen mit weiger als 1000 Euro Monatseinkommen ? Ja

Gehören  Sie zu den Menschen mit weiger als 1200 Euro Monatseinkommen ?  Haha