Bestimmen Sie jeweils die Häufungspunkte der Folge a_{n}

Question

Aufgabe Häufungspunkte:

Bestimmen Sie jeweils die Häufungspunkte der Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \).

(a) \( a_{n}=\left\{\begin{array}{ll}\cos \left(\frac{n \pi}{4}\right) & \text { für } n \text { gerade } \\ \sin \left(\frac{n \pi}{4}\right) & \text { für } n \text { ungerade }\end{array}\right. \)

(b) \( a_{n}=\frac{4 n^{2}+3}{3 n^{2}-9}(-1)^{n+1} \)

(c) \( a_{n}=n^{\left((-1)^{n+1}\right)} \)

(d) \( a_{n}=n^{-1}+\sqrt{1-\left(\cos \left(\frac{\pi}{2}+\frac{n \pi}{3}\right)\right)^{2}} \)

Answer 1

Beispiel:

an= n^ ((-1)^{n+1})

a1 = 1^ ((-1)^2) = 1

a2= 2^ ((-1)^3)) = 1/2

a3= 3^ ((-1)^4)) = 3

a4 = 1/4

a5 = 5

a6 = 1/6

usw.

an = n, falls n ungerade und an = 1/n falls n gerade.

Die geraden Folgenglieder kommen beliebig nahe an 0 ran. Zudem gibt es auch nach beliebig vielen Folgengliedern immer wieder ein gerades Folgenglied. Daher ist 0 ein Häufungspunkt.

Versuche nun die andern Teilaufgaben anhand einer ähnlich ausführlichen Tabelle zu untersuchen. Das klappt bestimmt.

Du darfst deine Tabellen und Folgerungen gerne als Kommentar vollständig posten, damit man sieht, was genau das Problem ist, dass du dir hier alle Aufgaben von deinem Aufgabenblatt vorlösen lassen musst.

Comments

Hallo LU
das sind meine Lösungen
für a)
HW : 0,1,-1,-√2/2 , √2/2
b) 4/3, -4/3
d) HAB ich umgeformt wir wissen ja das 1-cos^2(p/2 +np/3) = sin^2(p/2 + np/3)
dann sieht sie danach so aus : n^{-1} + √(sin^{2}(P/2 +np/3) = n^{-1} + sin(P/2 +nP/3)
und sin (p/2+np/3) = SIN(p/2)COS(nP/3) + COS (P/2)SIN(nP/3) = COS(nP/3)
                                      =1                                     =0      
MEINE Haüfungs punkte sind also
cos(p) = -1 , cos (P/3) , -COS(P/3) und cos (2P) = 1
Ist das so richtig oder  falsch ???           
Danke für deine Antwort
Gruß Thomas

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a) Stimmt. Wenn ihr die Definition für Häufungspunkte von Folgen zugrunde legt: https://www.mathelounge.de/207000/wie-berechnet-man-den-flacheninhalt-eines-kreises

Daher richtig.

b) stimmt.

d)

 sin²(p/2 + np/3) = cos^2(nπ/3)

Wurzel draus der Reihe nach

1/2, 1/2, 1, 1/2, 1/2, 1, usw.

Jetzt jeweils + 1/n ---> 0

==> Häufungspunkte von d) sind

1/2 und 1.