Beweis: Steigung der Tangente * Steigung der Normale = -1

Question

soll ein Referat über folgenden Beweis halten: m_t * m_n = -1

Habe erstmal gründlich Google benützt und das hier gefunden:

[...] m1*m2=tan(alpha1)*tan(alpha1+90°)=tan(alpha1)* sin(alpha1+90°)/cos(alpha1+90°)
= tan(alpha1) * [sin(alpha1)*cos(90°)+cos(alpha1)*sin(90°)]/ ...
=-1.

Quelle: http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/155512,0.html

Mein Problem ist, das ich nun die 3 Punkte und eventuell folgende Schritte nicht verstehe.

Schon mal vielen Dank.

Answer 1

Hier die Überlegungen

Wir positionieren eine Tangente und eine Normale durch den
Ursprung eines Koordinatensystems.

Im Abstand x = 1 ist
m (T) = p / 1 = p
m ( N ) = q / 1 = q

p und q sind Teile der Hypotenuse eines rechtwinkligen
Dreiecks. Es gilt der Höhensatz des Euklid
p * q = 1^2
p * q = 1

q ist negativ. Damit der Höhensatz richtig wird muß eingefügt werden.

p * q * ( -1) = 1
p * q = -1
m (T) * m(N) = -1

Alle Angaben ohne Gewähr.

Comments

Wenn man es nicht in den Koordinatenursprung setzt, sondern drüber, ist es dann doch nur 1?

Und funktioniert die andere Lösung auch? Oder wie vervollständigt man diese?

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Ich denke die Positionierung ist egal.
Sollte für alle Schnittpunkte zweier orthogonaler
Geraden funktionieren. Die Skizze ist immer
dieselbe.