Extremwertaufgabe: Rechteck im 4. Quadranten soll maximale Fläche haben.

Question

Kann mir jemand bitte die Nebenbedingung geben? Und mir beim Rechnen helfen? 

Comments

Die Gleichung von f müsstest du uns schon mitteilen.

Answer 1

Deine Zeichnung ist doch prima.

Da siehst du doch, dass das rechteck die Fläche

Länge * Breite

=  a * b hat.  Und   b ist ja gleich x , also die x-Koordinate von C und

a ist - f(x).    Denn f(x) ist ja in dem Bereich negativ, die Länge des

Rechtecks ist also die entsprechende pos. Zahl, also  - f(x).

Damit hast du für die Fläche

A(x) = -f(x) * x   und wenn du jetzt für f(x) den Funktionsterm einsetzt hast du eine neue Funktion - nämlich A(x) - für die du ein Maximum suchst.

Also A ' (x) = 0 setzen etc.

Comments

Also heißt es immer wenn der Graph im negativen Bereich ist das ich -f (x) schreiben muss?

Answer 2

einfache Nullstelle bei \(x=0\)   doppelte Nullstelle bei \(x=4\)  Extremwert bei E\((1|-9)\) ( ist nicht genau ablesbar)

\(f(x)=ax(x-4)^2\)

E\((1|-9)\):

\(f(1)=a(1-4)^2=9a=-9\)

\(a=-1\)

\(f(x)=-x(x-4)^2\)

Das Rechteck A, B,C und D soll maximal werden.

\(A(u)=u\cdot f(u)\)

\( f(u)=-u(u-4)^2\\=-u(u^2-8u+16)\\=-u^3+8u^2-16u\)

\(A(u)=-u^4+8u^3-16u^2\)   

\(A'(u)=-4u^3+24u^2-32u\) 

\(-4u^3+24u^2-32u=0|:(-4)\)

\(u^3-6u^2+8u=0\)

\(u(u^2-6u+8)=0\)  Satz vom Nullprodukt:

\(u_1=0\)     kommt nicht in Betracht

\(u^2-6u+8=0\)

\(u^2-6u=-8\)

\(u^2-6u+3^2=-8+3^2\)    

\((u-3)^2=1|± \sqrt{~~}\)

1.)

\(u-3=1\)

\(u_2=4\)     kommt nicht in Betracht

2.)

\(u-3=-1\)   

\(u_3=2\)    \( f(2)=-2(2-4)^2=-8\)

\(A(2)=-16\) 

Die maximale Fläche beträgt \(16\) FE

Comments

Hier fällt etwas auf !?

Ja - es fällt auf, dass beim Einsetzen eines Punktes \(u=2\) eine Fläche von $$A(2)=2 \cdot f(2) = 2\cdot (-2)(2-4)^2 = -16$$heraus kommt. Und diese ist absolut deutlich größer als das von Dir angegebene Maximum.

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Ich rätsle jetzt, wo mir in der Berechnung von \(u\) der Fehler unterlaufen ist.

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Du hast die Ableitung von f gebildet, gebraucht wird aber die von A.

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O je , so ein blöder Fehler. Danke dir!

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Also \(E(1|-9)\) als Tiefpunkt abzulesen hat ja schon nichts mehr mit "ungenau" zu tun, sondern ist einfach falsch. Aber das ändert natürlich Nichts an der Vorgehensweise. :)

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Mir kam es eben auch nur auf die Vorgehensweise an!

Answer 3

f(x) = - x·(x - 4)^2 = - x^3 + 8·x^2 - 16·x

Gerichteter Flächeninhalt

A(x) = x·f(x) = - x^4 + 8·x^3 - 16·x^2

A'(x) = - 4·x^3 + 24·x^2 - 32·x = - 4·x·(x - 2)·(x - 4) = 0

Neben den Nullstellen gibt es nur die Lösung bei x = 2

f(2) = - 2·(2 - 4)^2 = -8

Das Rechteck hat Seitenlängen von 2 und 8 LE und damit eine Fläche von 16 FE.