Wie zeigen ob die M := {(x,y) ∈ ℝ^2; x^2/a + y^2/b < c} offen ist?

Question

ich beschäftige mich in meiner Freizeit mit Mathe und suche mir oft Aufgaben im Internet aus, die ich dann versuche zu bearbeiten. Zum Thema offene Mengen habe ich diese gefunden.

Seien a,b,c > 0. Zeigen Sie, dass die Menge M := { (x,y) ∈ ℝ²; x²/a + y²/b < c } offen ist.

Nun ist die Definition wie folgt: 

Für jedes x ∈ U gibt es eine reelle Zahl ε > 0, sodass jeder Punkt y des ℝⁿ, dessen Abstand zu x kleiner ist als ε, in U liegt.

Wie gehe den Beweis an? Ich vermute, dass ich mir ein Punkt von dieser Menge nehme, von dem ich ausgehen kann das Sie in dieser Menge liegt und addiere ε dazu und müsste immer noch in dieser Menge sein, richtig?

Answer 1

Hallo A. Norb,

da es hier um Punkte in der Ebene geht kannst du dir die Definition folgendermaßen klar machen (übrigens ist deine Menge der innere Bereich einer Ellipse):

Für jeden Punkt in deiner Menge M gibt es einen Kreis mit Radius \(\varepsilon\), so dass alle Punkte die innerhalb dieses Kreis liegen, auch in der Menge M liegen.

Du gehst also in einem ersten Schritt von einem beliebigen Punkt in M aus und suchst einen passenden Radius für einen solchen Kreis.

Gruß

Comments

Hallo Yakyu,

also ich habe folgendes überlegt.  Sei (x,y) ∈ ℝ² und a,b,c > 0. Sei ε > 0

(x+ε )²/a + (y+ε)²/b < x²/a+y²/b

⇔   (x+ε)²/a - x²/a < y²/b -(y+ε)²/b

⇔   (x²+2εx+ε²-x²)/a < (-y²-2εy-ε²+y²)/b

⇔   (2εx+ε²)/a < (-2εy-ε²)/b

⇔   ε(2x+ε)/a < ε(-2y-ε)/b

⇔   (2x+ε)/a < (-2y-ε)/b

⇔   (2x+ε)/a - (-2y-ε)/b < 0

⇔   (2x+ε)/a + (2y+ε)/b < 0

(2x+ε)/a + (2y+ε)/b < x²/a + y²/b < c

⇒    (2x+ε)/a + (2y+ε)/b < c 

Also liegt (2x+ε)/a + (2y+ε)/b in der Menge M und die Menge M ist somit offen!?

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Hi,

das Problem ist, dass du nur in eine Richtung schaust, und nicht den ganzen Kreis betrachtest. Ein erster Fehler besteht darin, einen Punkt der Ebene und nicht der Menge M zu betrachten. Deine erste Ungleichung ist an sich schon nicht allgemein richtig, zum Beispiel wenn \(x,y > 0 \) sind.

Sei \((x,y) \in M \). Dann liegen alle Punkte, die einen Abstand kleiner als  ein \(\varepsilon >0 \) von diesem Punkt aus haben in der Menge:

$$ B_{\varepsilon}((x,y)) = \{ (u,v) \in \mathbb{R}^2 | (x-u)^2+(y-v)^2 < \varepsilon^2 \} $$

Du suchst also ein \(\varepsilon > 0 \), so dass für alle \((u,v) \in B_{\varepsilon}((x,y))\) gilt, dass \((u,v) \in M\).

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Hallo Yakyu,

ich habe ein Verständnisproblem mit "Ein erster Fehler besteht darin, einen Punkt der Ebene und nicht der Menge M zu betrachten. " 

Kannst du mir bitte etwas noch auf die Sprünge helfen?

Danke und Gruß

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Du hast geschrieben:

 Sei (x,y) ∈ ℝ²

Das heißt du betrachtest einen Punkt in der Ebene. Die Frage ist warum? Für die Aufgabe gilt es sich die Punkte in der Menge anzuschauen, nicht irgendwelche beliebigen Punkte.

Hast du Vorwissen in dem Bereich?