Anwendung vom Mittelwertsatz Ansatz

Question

Seien $$ f, g : [a,b] —> \mathbb{R} $$stetige und auf $$(a, b)$$ differen

zierbare Funktionen mit $$f(a)\geq g(a)$$ und $$f’ (t) \geq g’ (t)$$ für alle $$t \in (a,b)$$. Zeige:

Dann gilt $$f(t) \geq g(t)$$ für alle$$ t \in [a,b]$$. Ist zudem $$f’(t) > g’(t)$$ für alle $$t \in (a,b)$$,

dann ist auch $$f(t) > g(t)$$ für alle $$t \in (a, b)$$

Answer 1

Hi, definiere
$$  h(x) = f(x) - g(x) $$
Wenn \( f(t) \ge g(t) \) nicht gelten würde, dann gibt es ein \( t_0 > a \) mit \( f(t_0) < g(t_0) \), d.h. es gilt \( h(a) \ge 0 \) und \( h(t_0) < 0 \)
Also $$ \frac{h(a)-h(t_0)}{a-t_0} < 0  $$ Wegen dem MWS gibt es ein \( s \in (a,t_0) \) mit \( \frac{h(a)-h(t_0)}{a-t_0}=h'(s)=f'(s)-g'(s)<0 \) im Widerspruch zur Foraussetzung das \( f'(t) \ge g'(t) \) für alle \( t \) gilt.

Das ist der erste Teil und der zweite geht ähnlich.

Comments

Ich habe im zweiten Teil einfach als Voraussetzung genommen dass h'(s) >0 ist durch die Voraussetzung, dass f'(t)>g'(t).

Dann wenn f(t)>g(t) nicht gelte....................

am Schluss wäre dann (h(a)-h(t0))/(a-t0) kleiner gleich 0 was ein Widerspruch ist zur Voraussetzung. Ist das so Okay.

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Genau, das ist gut so.

Answer 2

Ansatz: Betrachte die Funktion \(h:[a,b] \to \mathbb{R} \) mit \( h(x):= f(x)-g(x) \).

Gruß