Seien f,g : [a,b]—>R f, g : [a,b] —> \mathbb{R} f,g : [a,b]—>Rstetige und auf (a,b)(a, b)(a,b) differen
zierbare Funktionen mit f(a)≥g(a)f(a)\geq g(a)f(a)≥g(a) und f’(t)≥g’(t)f’ (t) \geq g’ (t)f’(t)≥g’(t) für alle t∈(a,b)t \in (a,b)t∈(a,b). Zeige:
Dann gilt f(t)≥g(t)f(t) \geq g(t)f(t)≥g(t) für allet∈[a,b] t \in [a,b]t∈[a,b]. Ist zudem f’(t)>g’(t)f’(t) > g’(t)f’(t)>g’(t) für alle t∈(a,b)t \in (a,b)t∈(a,b),
dann ist auch f(t)>g(t)f(t) > g(t)f(t)>g(t) für alle t∈(a,b)t \in (a, b)t∈(a,b)
Hi, definiere h(x)=f(x)−g(x) h(x) = f(x) - g(x) h(x)=f(x)−g(x)Wenn f(t)≥g(t) f(t) \ge g(t) f(t)≥g(t) nicht gelten würde, dann gibt es ein t0>a t_0 > a t0>a mit f(t0)<g(t0) f(t_0) < g(t_0) f(t0)<g(t0), d.h. es gilt h(a)≥0 h(a) \ge 0 h(a)≥0 und h(t0)<0 h(t_0) < 0 h(t0)<0Also h(a)−h(t0)a−t0<0 \frac{h(a)-h(t_0)}{a-t_0} < 0 a−t0h(a)−h(t0)<0 Wegen dem MWS gibt es ein s∈(a,t0) s \in (a,t_0) s∈(a,t0) mit h(a)−h(t0)a−t0=h′(s)=f′(s)−g′(s)<0 \frac{h(a)-h(t_0)}{a-t_0}=h'(s)=f'(s)-g'(s)<0 a−t0h(a)−h(t0)=h′(s)=f′(s)−g′(s)<0 im Widerspruch zur Foraussetzung das f′(t)≥g′(t) f'(t) \ge g'(t) f′(t)≥g′(t) für alle t t t gilt.
Das ist der erste Teil und der zweite geht ähnlich.
Ich habe im zweiten Teil einfach als Voraussetzung genommen dass h'(s) >0 ist durch die Voraussetzung, dass f'(t)>g'(t).
Dann wenn f(t)>g(t) nicht gelte....................
am Schluss wäre dann (h(a)-h(t0))/(a-t0) kleiner gleich 0 was ein Widerspruch ist zur Voraussetzung. Ist das so Okay.
Genau, das ist gut so.
Ansatz: Betrachte die Funktion h : [a,b]→Rh:[a,b] \to \mathbb{R} h : [a,b]→R mit h(x) : =f(x)−g(x) h(x):= f(x)-g(x) h(x) : =f(x)−g(x).
Gruß
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