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Seien f,g : [a,b]>R f, g : [a,b] —> \mathbb{R} stetige und auf (a,b)(a, b) differen

zierbare Funktionen mit f(a)g(a)f(a)\geq g(a) und f(t)g(t)f’ (t) \geq g’ (t) für alle t(a,b)t \in (a,b). Zeige:

Dann gilt f(t)g(t)f(t) \geq g(t) für allet[a,b] t \in [a,b]. Ist zudem f(t)>g(t)f’(t) > g’(t) für alle t(a,b)t \in (a,b),

dann ist auch f(t)>g(t)f(t) > g(t) für alle t(a,b)t \in (a, b)

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Hi, definiere
h(x)=f(x)g(x) h(x) = f(x) - g(x)
Wenn f(t)g(t) f(t) \ge g(t) nicht gelten würde, dann gibt es ein t0>a t_0 > a mit f(t0)<g(t0) f(t_0) < g(t_0) , d.h. es gilt h(a)0 h(a) \ge 0 und h(t0)<0 h(t_0) < 0
Also h(a)h(t0)at0<0 \frac{h(a)-h(t_0)}{a-t_0} < 0 Wegen dem MWS gibt es ein s(a,t0) s \in (a,t_0) mit h(a)h(t0)at0=h(s)=f(s)g(s)<0 \frac{h(a)-h(t_0)}{a-t_0}=h'(s)=f'(s)-g'(s)<0 im Widerspruch zur Foraussetzung das f(t)g(t) f'(t) \ge g'(t) für alle t t gilt.

Das ist der erste Teil und der zweite geht ähnlich.

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Ich habe im zweiten Teil einfach als Voraussetzung genommen dass h'(s) >0 ist durch die Voraussetzung, dass f'(t)>g'(t).

Dann wenn f(t)>g(t) nicht gelte....................

am Schluss wäre dann (h(a)-h(t0))/(a-t0) kleiner gleich 0 was ein Widerspruch ist zur Voraussetzung. Ist das so Okay.

Genau, das ist gut so.

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Ansatz: Betrachte die Funktion h : [a,b]Rh:[a,b] \to \mathbb{R} mit h(x) : =f(x)g(x) h(x):= f(x)-g(x) .

Gruß

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