Aussagen einer Folge zeigen

Question

Die Aufgabe sieht ehrlic gesagt ziemlich einfach aus, aber mich verwirrt hierbei, wie ich an die "reine" Funktion a_n komme, um die Aussagen nachweisen zu können:

Comments

"... mich verwirrt hierbei, wie ich an die "reine" Funktion a_n komme, ..."

Was soll das sein, die "reine" Funktion? Eine geschlossene Darstellung? Wuesste nicht, wie man hier eine bekommen sollte.

So oder so: Du kannst direkt mit der Rekursionsformel arbeiten.

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ich muss ja irgendetwas haben, was ich für a_n einsetzen kann, um dann zu zeigen, dass a_n größer 0 ist. ich habe ja nur die formel für a_n+1

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Du hast keine geschlossene Darstellung und brauchst auch keine. Die angegebene Rekursionsformel reicht. (a) geht mit vollstaendiger Induktion. Was eigentlich klar sein sollte, nennt man eine rekursive Definition doch auch Definition durch vollstaendige Induktion.

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ich dachte, ich brauche einfach eine formel für a_n die ich dann einfach nach 0 umforme.
Ich verstehe den Begriff Rekursionsformel leider noch nicht. Was hat es damit auf sich?

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Du hast a₀ gegeben und kannst daraus a₁ berechnen, indem Du die Rekursionsformel mit n=0 benutzt. Dann a₂ aus a₁ wieder mit der Rekursionsformel mit n=1, usw. usf. Schreib halt zur Uebung mal die ersten zehn Folgenglieder explizit auf.

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dann würde die Folge ja so aussehen:

2; 3/2; 4/3 ; 5/4; .....

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Nein.

1, 2, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, ...

Nebenbei: Da kann man sogar ein Muster erkennen und dann tatsaechlich eine geschlossene Formel gewinnen. Das ist aber nicht noetig und auch nicht Sinn der Aufgabe.

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wie kommt man bitte auf diese werte???

Answer 1

ao=1

a1 = 1 + 1 / a0   = 1 + 1 = 2

a2 = 1 + 1 / a1 = 1 + 1/2 = 3/2

a3 = 1 + 1 / a2 = 1 + 2/3 = 5/3

a4 = 1 + 3/5 = 8/5   etc.

wenn ein Folgenglied a_n positiv ist, dann ist 1 / a_n auch positiv

und 1 + 1 / a_n auch. Da a0 positiv ist, also auch alle anderen.

a_n+2 = 1 + 1/ a_n+1 = 1 + 1 / ( 1 + 1/a_n ) = 1 + 1 / (( a_n+1)/a_n )

= 1 + a_n / ( a_n+1)

= ( a_n+1) / ( a_n+1) + a_n / ( a_n+1)

= (2a_n+1) / ( a_n+1)

(2a_n+1) / ( a_n+1) > a_n 

2a_n+1  > a_n * ( a_n+1)

0 >  a_n * ( a_n+1) - ( 2a_n+1  )

0 > a_n²  +a_n - 2a_n - 1

0 > a_n²   - a_n  - 1

und die Ungelichung x^2 - x -1 > 0 hat die Lösungen x > (wurzel(5)+1) / 2

oder x <  (- wurzel(5)+1) / 2, aber wegen a_n > 0 gilt nur die erste.

Comments

vielen dank, jetzt habe ich das meisten schonmal verstanden.

Eine letze frage wäre jetzt noch, wie man allgemein die a) zeigen kann. Du hast ja hier nur beispiele gegeben und daraus eine logische schlussfolgerung gezogen. Das ist ja streng genommen kein Beweis :)

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ganz korrekt wäre vollständige Induktion.

Es gilt für 0

und wenn es für n gilt, dann auch für n+1.

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ok, danke, dann werde ich das noch zusätzlich machen :)