Aufgabe:
Geben Sie ohne Beweis an, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind.
i) \( \left(a_{n}\right) \) sei eine Folge reeller Zahlen.
1) \( a_{n} \) ist konvergent \( \Longleftrightarrow a_{n} \) ist monoton und beschränkt
2) \( a_{n} \) hat einen Häufungspunkt \( \Longleftrightarrow a_{n} \) ist beschränkt
3) \( a_{n} \) ist monoton und beschränkt \( \Longleftrightarrow a_{n} \) hat (mindestens) einen Häufungspunkt
4) \( \alpha_{n} \) ist konvergent \( \Longleftrightarrow \) es gibt \( a \in \mathbb{R} \) und \( k \in \mathbb{N} \), sodass für alle \( \varepsilon>0 \) ein \( N_{0} \) existiert mit der Eigenschaft, dass gilt
\( \left|a_{n}-a\right|<\varepsilon \) für alle \( n \in \mathbb{N} \)
mit \( n \geq N_{0}+k \)
ii) Für \( \alpha \in \mathbb{R} \) betrachte man die unendliche Reihe \( \sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} n^{\alpha} \). Die Reihe ist konvergent:
1) genau dann, wenn \( \alpha<0 \).
Ansatz/Problem:
Ich befinde mich in der Klausurvorbereitung zur Analysis 1. Habe dazu eine Aufgabe und würde gerne wissen, ob ich mit meinen Vermutungen richtig liege, da ich keine Lösungen besitze:
(1) richtig, Jede monotone, beschränkte Folge ist konvergent - soweit ich weiß, gilt hier die Umkehrung. Wenn da nur beschränkt und nicht monoton gestanden hätte, dann wäre die Äquivalenz nicht gegeben.
(2) falsch, eine beschränkte Folge kann auch mehr als einen Häufungswert haben
(3) richtig, denn eine Folge, die mindestens einen Häufungswert hat, konvergiert und eine solche Folge ist monoton und beschränkt, andersrum ebenso.
(4) falsch, hierbei stört mich das k. Ich kenne die Definition nur ohne k und denke, dass das seinen berechtigten Grund hat, warum in der üblichen Def. keines steht
(5) richtig, denn setzte ich a<0, habe ich damit eine alternierende Nullfolge entwickelt und nach dem Leibnizkriterium ist diese Folge dann nicht absolut konvergent, aber konvergent
