Wie rechnet mach diese Anwendungsaufgabe zum Thema Integralrechnung?

Question

Ich bitte um die Rechnung dieser Aufgabe.

Answer 1

Jede Aufgabe der Form "Berechne xyz nach t Stunden mithilfe der xyz-Geschwindigkeit f(t)" kann so gelöst werden: $$\int_{t_0}^x f(t)\cdot t\ \text d t$$

t_0 ist dabei dein Anfangswert, meistens Null. Das Integral einer Exponentialfunktion ist die Exponentialfunktion selber mal einem Faktor log(Basis), der von der Basis der Exponentialfunktion abhängt:

$$\int_0^xf(t)t\text dt=\left.2\log(0.905)\cdot0.905^t\right|_{t=0}^x=2\log(0.905)\cdot(0.905^x-0.905^0)=2\log(0.905)\cdot(0.905^x-1)$$

Log ist dabei der natürliche Logarithmus, vielleicht nennt ihr ihn auch ln. Beachte für die Skizze, dass log(0.905) eine negative Zahl nahe Null ist. Für b) setzt du x=12, für c) setzt du die Stammfunktion gleich 1/2 und formst um (mit Anwendung des Logarithmus), für d) dasselbe mit 0.01 und für e) setzt du x=24*30 (die Anzahl Stunden in einem durchschnittlichen Monat).

Comments

Die Stammfunktion, die du bei der Berechnung des Integrals verwendest,

ist eine Stammfunktion von 2 • 0.905^t , nicht von 2 • 0,905^t  • t..

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Ja, stimmt, sorry, war wohl schon etwas zu müde. Das richtige Integral ist:

$$\int_0^xf(t)\text dt=\left.\frac{2\cdot0.905^t}{\ln(0.905)}\right|_{t=0}^x=\frac{2\cdot0.905^x-2}{\ln(0.905)}=:F(x)$$

Diese Funktion ist eine exponentiell steigende Funktion, sie gibt die Menge des bereits abgebauten Stoffes wieder. Ihr Grenzwert gegen unendlich ist $$\lim_{n\rightarrow\infty}F(x)=-\frac2{\ln(0.905)}\approx20$$

Also suchst du bei c) dasjenige x, für das das Integral 10 ergibt und bei d) jenes, für das es 0.99*20=19.8 ergibt.

Answer 2

Die Aufgabe hat mich in beträchtliche Irrungen und Wirrungen
gebracht.

Graph Abbaugeschwindigkeit

~plot~ 2 * 0.905^x ; [[ 0 | 20 | 0 | 2 ]] ~plot~

Die Abbaugeschwindigkeit ist ein postiver Wert und
entspricht der 1.Ableitung der Konzentration.

Graph Konzentration ( in greife etwas vor )

~plot~ 20.036 * 0.905^x - 0.036 ; [[ 0 | 20 | 0 | 20 ]] ~plot~

Unglücklichsterweise stimmt dies nicht.
Wie im Konzentrationsgraph zu sehen ist die Steigung negativ.
Die 1.Ableitung der Konzentration ist also

minus 2 * 0.905^t
- 2 * 0.905^t

Geht gleich weiter.

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Hier meine Berechnungen