Also das z - r = k*n heißt ja kurz gesagt nur:
zur Klasse von r gehören alle z aus Z, die bei der Division durch
h den gleichen Rest haben wie r.
Beispiel die Klasse [14] in der Gruppe Z / 5Z wären alle, die
bei der Division durch 5 den gleichen Rest wie 14 haben, also Rest 4.
Das wäre [14] = { 4,9,14,19,24,29, aber auch -1,-6,-11,-16 etc . }
und nun sollst du zeigen , dass eine Gruppe ist:
( du sollst es sogar allgemein für beliebiges n, aber ich bleib mal
eher bei n=5.)
Alle Klassen von Z / 5Z zusammen mit der Addition, die ja nur besagt:
Die Summe zweier Klassen ist die Klasse, in der die Summe zweier beliebiger
Elemente aus je einer der Klassen liegt.
Dazu gehören zwei Dinge:
1. Die Addition ist wohldefiniert
2. Die Gruppenaxiome gelten.
zu 1: Bleiben wir erstmal beim Beispiel:
Eine anderen Klasse wäre etwa [2] = { 2,7,12,17,etc und auch -3 , -8 , -13 etc }
Dann hört sich ja die Definition zunächst etwa blöd an, man soll einfach aus jeder Klasse
einen wählen und die dann addieren. Für [14] + [2] wäre das also [14+2] = [16]
da aber [14] auch die 9 enthält, ist [14] = [9]
und dann könnte man ja rechnen [14] + [2] = [9] + [2] = [11]
und hat im 1. Moment das Gefühl, dass dann ein anderes Ergebnis
rauskommt. ABER [16] = [11] denn beide haben bei der Div. durch 5 den
gleichen Rest 1, man kann also sagen [16] = [11] = [1] .
Das musst du nun allgemein zeigen: Egal durch welches Element man
die Klassen der Summanden repräsentiert, es kommt bei der Summe immer
die gleiche Klasse raus. Und das Ergebnis ist auch immer wieder eine
Klasse aus Z / 5Z bzw. allgemein aus Z / nZ
2. Gruppenaxiome: Assoziativität ist klar, da die Addition der
Klassen auf die Addition in Z zurückgeführt wird und die ist
assoziativ.
neutrales El. ist immer die Klasse [0], also alle durch m teilbaren.
das Inverse zu einer Klasse [k] ist [-k] oder auch eben [m-k]
