wenn an+1 / an gegen q konvergiert, gilt für jedes eps > 0 von einem
gewissen N an, für alle n>N | (an+1 / an) - q | < eps
wenn q<1 ist, und man eps = (1-q)/2 wählt , gilt ( weil alles positiv ist)
für n > N (an+1 / an) < q+ (1-q)/2 < 1
und weil alles positiv ist R+ !!! wird aus an+1 / an < 1
an+1 < an
also ist an streng monoton fallend für n > N.
und (weil alles positiv ist ) nach unten beschränklt, also
konvergent.
Für q>1 bekommst ähnlich , dass für n>N es ein q1 > 1
gibt, so dass immer a
n+1 > a
n*q1 gilt. Damit wird ab diesem
N immer a
n ≥a
N*q1
n-N gelten, also ist dies geometrische Folge
eine divergente Minorante, also divergent.
Für q = 1 betrachte zwei Beispiele a
n = 1 für alle n konvergent.
a
n = (n^2 + 1 ) / n
da ist a
n+1 / a
n = ( ((n+1)^2 + 1 ) / ( n+1 ) ) / ( (n^2 + 1 ) / n )
= ( ((n+1)^2 + 1 ) / ( n+1 ) ) * ( n / (n^2 + 1 ) )
=( ((n+1)^2 + 1 ) * n / (n+1) * (n^2 + 1 ) )
= etc hat den Grenzwert 1.
aber an ist offenbar divergent.
